2023年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷。
2023年12月9日上午9:00~11:00）
解答本试卷可以使用科学计算器。
一、 填空题（每题10分，共80分）
1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为。
2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则。
的值为。3. 在平面直角坐标系中，已知点（，）点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是。
4. 在矩形中，。点分别在上，使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于。
5. 使得是素数的整数共有个。
6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时。
7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为。
8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则这里表示不超过实数的最大整数。）
二、 解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）
9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已知，求证：或者，或者。
10. 解方程组。
11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。
1） 若，求的取值范围；
2） 求证：。
12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足。
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