2023年上海市初中数学竞赛（新知杯）模拟试卷。
上午9:00~11:00）
班级姓名学号。
解答本试卷可以使用计算器，本卷没有答题纸。
一、填空题（每题9分，共90分）
1、设a为质数，b，c为正整数，且满足，那么a ( b + c )的值是___
解：（1）式即() 2 =，设m =，n =，则2 b – c ==3），故3 n – 511 m + 6 a = 0，又n = m 2，所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （4），由（1）式可知，( 2 a + 2 b – c ) 2能被509整除，而509是质数，于是2 a + 2 b – c能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。
不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（为自然数），则72 a = 511 2 – t 2 = 511 + t ) 511 – t )，由于511 + t和511 – t的奇偶性相同，且511 + t ≥ 511，所以只可能有以下几种情况：，②两式相加分别得。
36 a + 2 = 1022，18 a + 4 = 1022，12 a + 6 = 1022，6 a + 12 = 1022，均没有整数解；，⑥两式相加分别得4 a + 18 = 1022，解得a = 251；
2 a + 36 = 1022，解得a = 493，而493 = 17 × 29不是质数，故舍去。综合可知a = 251。
此时方程（3）的解为m = 3或m =（舍去）。
把a = 251，m = 3代入（3）式，得2 b – c ==7，即c = 2 b – 7，代入（2）式得b – 2 b – 7 ) 2，所以b = 5，c = 3，因此a ( b + c ) 251 × 5 + 3 ) 2008。
2、如图，正方形abcd的边长为1，m，n为bd所在直线上的两点，且am =，man = 135°，则四边形amcn的面积为 。
设bd中点为o，连ao，则ao⊥bd，ao = ob =，mo ==mb = mo – ob =。又∠abm =∠nda = 135°，nad =∠man –∠dab –∠mab = 135° –90° –mab = 45°–∠mab =∠amb，所以△adn∽△mba，故=，从而dn = ba =×1 =，根据对称性可知，四边形amcn的面积s = 2 s△man = 2 ××mn × ao = 2
3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且| m | n | 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | q
根据题意，m，n是一元二次方程x 2 + a x + b = 0的两根，所以m + n = a，m n = b。
| m | n | 1，∴|m + n | m | n | 1，| m – n | m | n | 1。
方程x 2 + a x + b = 0的判别式△= a 2 – 4 b ≥ 0，∴b ≤=
4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是。
1 2到3 2，结果都只各占1个数位，共占1 × 3 = 3个数位；4 2到9 2，结果都只各占2个数位，共占2 × 6 = 12个数位；10 2到31 2，结果都只各占3个数位，共占3 × 22 = 66个数位；32 2到99 2，结果都只各占4个数位，共占4 × 68 = 272个数位；100 2到316 2，结果都只各占5个数位，共占5 × 217 = 1085个数位；此时还差2008 – 3 + 12 + 66 + 272 + 1085 ) 570个数位。317 2到411 2，结果都只各占6个数位，共占6 × 95 = 570个数位。所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是411 2的个位数字，即为1；
5、设为已知常数，且，要使。
为常数，则的取值范围是。
的取值范围是。
提示：当时，有。
因此， ,这时。
6、求不定方程的正整数解的组数．
解令，，，则．
先考虑不定方程满足的正整数解．
5分。当时，有，此方程满足的正整数解为．
当时，有，此方程满足的正整数解为．
所以不定方程满足的正整数解为。
10分。又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为。
15分。7、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是。
如图2，人行横道的面积 s＝15×40＝600，ｓ＝50ｘ＝600，解得ｘ＝12．
8、一条铁路原有ｍ个车站，为适应客运需要新增加ｎ个车站（ｎ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是
14；新增的ｎ个车站之间需要ｐ２ｎ种车票，新增的ｎ个车站与原来的ｍ个车站之间需要2ｍｎ种车票，从而。
ｐ２ｎ2ｍｎ＝58，即 ｎ（1＋2ｍ）＝58．
∵ｍ、是非负数（ｎ＞1），且58只能分解为 1×58，和2×29，9、在△ａｂ中，ａ、是角ａ、ｂ的对边，且满足ａ２＋2ｃ２，则角ｃ的最大值是。
填π／3． 因为ａ２＋2ｃ２，所以22）／24ａｂ，所以ａ２－40．
即（ａ／41＝0（因为ｂ≠0）．
因为ａ／ｂ是正实数，所以。
故ｃｏｓ1／2，所以ｃ≤π3．
因此角ｃ的最大值是π／3．
10、已知正实数ａ、ｂ满足ａ＋ｂ1，则ｍ＝的整数部分是。
2． 一方面ｍ＞＋2，另一方面ｍ＜＝1＋ａ＋1＋ｂ
＝2＋（ａ3，即有2＜ｍ＜3．
二、(15分）已知△abc中，∠acb＝90°，ab边上的高线ch与△abc的两条内角平分线 am、bn分别交于p、q两点。pm、qn的中点分别为e、f.求证：ef∥ab.
解因为bn是∠abc的平分线，所以。
又因为ch⊥ab，所以，因此。
又f是qn的中点，所以cf⊥qn，所以，因此c、f、h、b四点共圆。
又，所以fc＝fh，故点f在ch的中垂线上。
同理可证，点e在ch的中垂线上。
因此ef⊥ch.
又ab⊥ch，所以ef∥ab.
三、（15分）设，求使为完全平方数的整数的值．
解．所以，当时，是完全平方数．
1）当时，有，又，所以，从而．
又，所以此时不是完全平方数。
2）当时，有．令，则，即，所以，即 ．
解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．
综上所述，使为完全平方数的整数的值为10.
5、已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x，不等式。
a ( 1 – x ) 1 – x – a x ) b x ( b – x – b x ) 0 （1）
恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值。
解：整理不等式（1）并将a 2 + b 2 = 1代入，得( 1 + a + b ) x 2 – 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2），在（2）中，令x = 0，得a ≥ 0；令x = 1，得b ≥ 0。
易知1 + a + b > 0，0 <<1，故二次函数y = 1 + a + b ) x 2 – 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立，所以它的判别式△= 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) 0，即a b ≥。
由方程组（3）
消去b，得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0，所以a 2 =或a 2 =。又因为a ≥ 0，所以a 1 =或a 2 =，于是b 1 =或b 2 =。
所以a b的最小值为，此时a，b的值分别为a =，b =和a =，b =。
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