数学试题(理)
第ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题。
1.已知是纯虚数，则( )
a. b. c. d.或
2.如图是将二进制数化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )
a. b. c. d.
3.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是( )
a. b. c. d.
4.已知向量，，，则向量( )
a. b. c. d.
5.已知函数，下面结论错误的是( )
a.函数的最小正周期是 b.函数的图像关于直线对称。
c.函数在区间上是增函数 d.函数的图像关于点对称。
6.等差数列的前项和为，公差。若存在正整数，使得，则“”是“”(
a.既不充分也不必要条件 b.充分不必要条件 c.必要不充分条件 d.充要条件。
7.设双曲线的一条渐近线与圆只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
a. b. c. d.
8.正方体中，与直线、、都相交的直线( )
a.有且只有一条 b.有且仅有两条
c.有且仅有三条 d.有无数条。
9.第四届全国体育大会期间，5名志愿者被安排参加三个比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有( )
a.60种 b.150种 c.240种 d.540种。
10.已知函数，则函数的零点个数为( )
a.4 b.5 c.6 d.7
第ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题。
11.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为(单位：克)、、且平均质量为125，则该样本方差的最小值为
12.已知实数、满足，则的最小值为
13.对任意的实数、，，不等式，则实数的取值范围是
14.由轴、轴和直线围成的三角形的三边与曲线(为参数)共有4个公共点，则动点所形成区域的面积为
15.已知矩形，将其沿对角线折起，形成四面体，则以下命题正确的是：(写出所有正确命题的序号)
四面体体积最大值为；②四面体中，；③四面体有侧面可能是个等腰直角三角形；④四面体外接球表面积是。
三、解答题。
16.(本小题满分12分)
已知中，，又。
ⅰ)试判断的形状；(ⅱ求的值。
17.(本小题满分12分)
如图所示，是合肥一中教学区示意图，现有甲乙丙丁4人来校参加全国中学语文十校论坛，4人只从校门土进入校园，甲丁必须从同一校门进校，甲乙丙3人从哪个校门进校互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的。
ⅰ)求仅有一人从西大门进入学校的概率；
ⅱ)设4人中从西大门进入校园的人数为随机变量，求的数学期望和方差；
ⅲ)设随机变量，求的最大值。
18.(本小题满分12分)
如图，和是正三角形，平面底面，，.
(ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值大小；
ⅱ)已知点是的中点，在平面内一点，使平面，求点到和的距离。
19.(本小题满分13分)
过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点上的法线。
已知抛物线的方程为。点是上任意点，过点作的切线，法线。
ⅰ)求法线与抛物线的另一个交点的横坐标取值范围；
ⅱ)设点是抛物线的焦点，连接，过点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，设与轴的交点为，求证。
20. (本小题满分13分)
已知函数有两个极点值。
ⅰ)求实数的取值范围；
ⅱ)若存在实数，使函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。
21. (本小题满分13分)
数列满足，，，
ⅰ)求证：，
ⅱ) 求证：；
(ⅲ)令，判断与的大小，并说明理由。
一卷2023年冲刺高考最后
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