1《线性代数》综合测试题。
一、填空题（每题5分，共25分）：
1、已知。2、设， 则。
3、设3阶矩阵a的特征值为， 则。
4、设， 则。
5、行列式第四行各元素的代数余子式之和为 。
二、选择题（每题5分，共25分）：
6、n 阶方阵a 与对角矩阵相似的充要条件是( )a）矩阵a 有n 个特征值 （b）矩阵a的行列式。
c）矩阵a 有n 个线性无关的特征向量 （d）矩阵a的秩为n7、设 a ，b 为n 阶方阵，满足关系ab=0 ，则必有 。
a）, b), c)或， （d）
8、矩阵与矩阵( )相似。
ab) cd)
9、向量组线性相关的充要条件是 。
a)中至少有一个零向量；
b）中至少有两个向量成比例；
c）中至少有一个向量可由其余向量线性表示；
d）向量组的秩。
10、a与b是两个相似的n阶矩阵，则( )(a)存在非奇异矩阵p，使；
b)存在对角矩阵d，使a与b都相似于d ；
c)； d) .
三、计算题（每题10分，共40分）：
11、设，求矩阵。
12、求矩阵的特征值与特征向量。
13、设线性方程组。
（1）为何值时，方程组有唯一解、无解；
（2）为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。
14、设实对称矩阵试求出正交矩阵p, 使为对角阵。
四、证明题（每个10分，共10分）：
15、证明：设向量的线性无关，非零向量与都正交，证明：与线性无关。
1《线性代数》综合测试题答案。
一、填空题（每题5分，共25分）：
二、选择题（每题5分，共25分）：
6、c 7、c 8、c 9、 c 10、a三、计算题（每题10分，共40分）：
11、解：
12、解：a的特征方程为。
故a的特征值为。
当时，解方程。
由，得基础解系。
故对应于的全体特征向量为。
当，解方程。
由。得基础解系。
故对应于的全体特征向量为。
1）当时，
当，即时， ，无解。
当，即且时，唯一解。
2）当，即时，有无穷多组解，通解为。
14、解：矩阵a的特征方程为：
解得。当时，由，得基础解系。
当时，由，得基础解系。
当时，由，得基础解系。
不难验证时正交向量组。把单位化，得，
令，则。四、证明题（每个10分，共10分）：
15、证明：因为与都正交，故。
若，两边同时对做内积，则有。
则。于是可变为，因为向量的线性无关，则，于是与线性无关。
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