2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十七。
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是。
a) a，b同时为0，且c>0 (b) =c
(c) c
2、给出下列两个命题：⑴ 设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2－c2>0；⑵设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，则a2+b2>c2．那么下述说法正确的是。
(a)命题⑴正确，命题⑵也正确 (b)命题⑴正确，命题⑵错误。
(c)命题⑴错误，命题⑵也错误 (d)命题⑴错误，命题⑵正确。
3、已知数列满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn，则满足不等式|sn－n－6|《的最小整数n是。
(a)5 (b)6 (c)7 (d)8
4、已知0 (a)x5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是。
(abc)(0，) d)(π
6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是。
(a)三角形b)正方形
(c)非正方形的长方形d)非正方形的菱形。
二、填空题(每小题9分，共54分)
1．已知有向线段pq的起点p和终点q的坐标分别为( －1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与pq的延长线相交，则m的取值范围是。
2．已知x，y∈[－a∈r且则cos(x+2y
3．已知点集a=，b=，则点集a∩b中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为。
4．设0<θ<则sin (1+cosθ)的最大值是。
5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin
6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是。
三、解答题。
一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β满足|α－2,求|m|的最大值和最小值。
二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。
三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆o的半径为r,内心为i，∠b=60,∠a<∠c,∠a的外角平分线交圆o于e．
证明：(1) io=ae； (2) 2r
四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集p=, p中任三点均不共线，将p中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案g，不同的分组方式得到不同的图案，将图案g中所含的以p中的点为顶点的三角形个数记为m(g)．
(1)求m(g)的最小值m0．
(2)设g*是使m(g*)=m0的一个图案，若g*中的线段(指以p的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色。证明存在一个染色方案，使g*染色后不含以p的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十七。
参***。一．选择题(每小题6分，共36分)
1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是。
a) a，b同时为0，且c>0 (b) =c
(c) c
解：asinx+bcosx+c=sin(x+φ)c∈[－c， +c]．故选c．
2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2－c2>0．(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，则a2+b2>c2．那么下述说法正确的是。
(a)命题(1)正确，命题(2)也正确 (b)命题(1)正确，命题(2)错误。
(c)命题(1)错误，命题(2)也错误 (d)命题(1)错误，命题(2)正确。
解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a2+b2>c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2－c2>0成立；
⑵ 当a2+b2－c2>0成立时a2+b2－c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2>c2不一定成立．故选b．
3、已知数列满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn，则满足不等式|sn－n－6|《的最小整数n是。
(a)5 (b)6 (c)7 (d)8
解：(an+1－1)=－an－1)，即是以－为公比的等比数列，∴ an=8(－)n－1+1．∴ sn=8·+n=6+n－6(－)n，6·<，n≥7．选c．
4、已知0 (a)x 解：0logbcosa>0．
∴ (sina) (abc)(0，) d)(π 解：设相邻两侧面所成的二面角为θ，易得θ大于正n边形的一个内角π，当棱锥的高趋于0时，θ趋于π，故选a． 6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是。 (a)三角形b)正方形 (c)非正方形的长方形d)非正方形的菱形。 解：x+y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab； x+y≥0，x－y<0时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y<0时，(二、三象限角平分线之间)：－a+b)x+(a－b)y=2ab． 四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．选d． 二、填空题(每小题9分，共54分) 1．已知有向线段pq的起点p和终点q的坐标分别为( －1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与pq的延长线相交，则m的取值范围是。 解：即x+my+m=0与y= (x+1)+1的交点的横坐标》2． ∴ x+m(x+)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－>2．－32．已知x，y∈[－a∈r且则cos(x+2y 解：2a=x3+sinx=(－2y)3－sin(－2y)，令f(t)=t3+sint，t∈[－f (t)=3t2+cost>0，即f(t)在[－，上单调增．∴ x=－2y． ∴ cos(x+2y)=1． 3．已知点集a=，b=，则点集a∩b中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为。 解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点． 4．设0<θ<则sin (1+cosθ)的最大值是。 解：令y= sin (1+cosθ) 0，则y2=4 sin2cos4=2·2sin2cos2cos2≤2()3． ∴ y≤．当tan=时等号成立． 5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin 解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中aa与平面abd所成角即可．设aa=1，则ac=，ac⊥平面abd，ac被平面abd、bdc三等分．于是sinα=． 6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是。 解：设有m个+1，(95－m)个－1．则a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0． 取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值． 三解答题。一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β满足|α－2,求|m|的最大值和最小值。 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。一 选择题 每小题5分，共30分 1 若m n 则m n的元素个数是 a 4 b 5 c 8 d 9 2 已知f x asinx b 4 a，b为实数 且f lglog310 5，则f lglg3 的值是 a 5 b 3 c 3 d 随a，b取不同值而取不... 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。一 选择题 每小题5分，共30分 1 若m n 则m n的元素个数是 a 4 b 5 c 8 d 9 2 已知f x asinx b 4 a，b为实数 且f lglog310 5，则f lglg3 的值是 a 5 b 3 c 3 d 随a，b取不同值而取不... 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三。一 选择题 本题满分36分，每题6分 1 把圆x2 y 1 2 1与椭圆9x2 y 1 2 9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为 a 线段 b 不等边三角形 c 等边三角形 d 四边形。2 等比数列的首项a1 1536,公比q 用 n表示它的前n项之积...2023年全国高校自主招生数学模拟试卷
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