2024年全国高校自主招生数学模拟试卷

2．已知x，y∈[－a∈r且则cos(x+2y

3．已知点集a=，b=，则点集a∩b中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为。

4．设0<θ<则sin (1+cosθ)的最大值是。

5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin

6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是。

三、解答题。

一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β满足|α－2,求|m|的最大值和最小值。

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆o的半径为r,内心为i，∠b=60,∠a<∠c,∠a的外角平分线交圆o于e．

证明：(1) io=ae； (2) 2r

四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集p=, p中任三点均不共线，将p中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案g，不同的分组方式得到不同的图案，将图案g中所含的以p中的点为顶点的三角形个数记为m(g)．

(1)求m(g)的最小值m0．

(2)设g*是使m(g*)=m0的一个图案，若g*中的线段(指以p的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色。证明存在一个染色方案，使g*染色后不含以p的点为顶点的三边颜色相同的三角形．

2024年全国高校自主招生数学模拟试卷十七。

参***。一．选择题(每小题6分，共36分)

1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是。

a) a，b同时为0，且c>0 (b) =c

解：asinx+bcosx+c=sin(x+φ)c∈[－c， +c]．故选c．

2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2－c2>0．(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c2>0，则a2+b2>c2．那么下述说法正确的是。

(a)命题(1)正确，命题(2)也正确 (b)命题(1)正确，命题(2)错误。

(c)命题(1)错误，命题(2)也错误 (d)命题(1)错误，命题(2)正确。

解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a2+b2>c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2－c2>0成立；

⑵ 当a2+b2－c2>0成立时a2+b2－c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2>c2不一定成立．故选b．

3、已知数列满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn，则满足不等式|sn－n－6|《的最小整数n是。

(a)5 (b)6 (c)7 (d)8

解：(an+1－1)=－an－1)，即是以－为公比的等比数列，∴ an=8(－)n－1+1．∴ sn=8·+n=6+n－6(－)n，6·<，n≥7．选c．

4、已知0 (a)x 解：0logbcosa>0．

∴ (sina)

(abc)(0，) d)(π

解：设相邻两侧面所成的二面角为θ，易得θ大于正n边形的一个内角π，当棱锥的高趋于0时，θ趋于π，故选a．

6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是。

(a)三角形b)正方形

(c)非正方形的长方形d)非正方形的菱形。

解：x+y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab；

x+y≥0，x－y<0时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab；

x+y<0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab；

x+y<0，x－y<0时，(二、三象限角平分线之间)：－a+b)x+(a－b)y=2ab．

四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．选d．

二、填空题(每小题9分，共54分)

1．已知有向线段pq的起点p和终点q的坐标分别为( －1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与pq的延长线相交，则m的取值范围是。

解：即x+my+m=0与y= (x+1)+1的交点的横坐标》2．

∴ x+m(x+)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－>2．－32．已知x，y∈[－a∈r且则cos(x+2y

解：2a=x3+sinx=(－2y)3－sin(－2y)，令f(t)=t3+sint，t∈[－f (t)=3t2+cost>0，即f(t)在[－，上单调增．∴ x=－2y．

∴ cos(x+2y)=1．

3．已知点集a=，b=，则点集a∩b中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为。

解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．

4．设0<θ<则sin (1+cosθ)的最大值是。

解：令y= sin (1+cosθ) 0，则y2=4 sin2cos4=2·2sin2cos2cos2≤2()3．

∴ y≤．当tan=时等号成立．

5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin

解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中aa与平面abd所成角即可．设aa=1，则ac=，ac⊥平面abd，ac被平面abd、bdc三等分．于是sinα=．

6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是。

解：设有m个+1，(95－m)个－1．则a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95

2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0．

取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值．

三解答题。一、(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β满足|α－2,求|m|的最大值和最小值。

解：设m=a+bi(a，b∈r)．则△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi．(u，v∈r)

即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]．

α－β2，|α2=28，|(4－a)+(5－b)i|=7，(a－4)2+(b－5)2=72，即表示复数m的点在圆(a－4)2+(b－5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+，最小值为7－．

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

解：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－)(1－)(1－)=48个。1000=48×20+48－8， 105×20=2100.

而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．

所求数为2186。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆o的半径为r,内心为i，∠b=60,∠a<∠c,∠a的外角平分线交圆o于e．

证明：(1) io=ae； (2) 2r证明：∵∠b=60°，∴aoc=∠aic=120°．

a，o，i，c四点共圆．圆心为弧ac的中点f，半径为r．

o为⊙f的弧ac中点，设of延长线交⊙f于h，ai延长线交弧bc于d．

由∠ead=90°（内外角平分线）知de为⊙o的直径．∠oad=∠oda．

但∠oai=∠ohi，故∠ohi=∠ade，于是rtδdae≌rtδhio

ae=io．

由δach为正三角形，易证ic+ia=ih．

由oh=2r．∴io+ia+ic=io+ih>oh=2r．

设∠ohi=α，则0<α<30°．

io+ia+ic=io+ih=2r(sinα+cosα)=2rsin(α+45°)

又α+45°<75°，故io+ia+ic<2 r(+)4=r(1+)

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