2023年全国高校自主招生数学模拟试卷

发布 2022-10-31 09:12:28 阅读 3553

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。

一.选择题(每小题5分,共30分)

1.若m=,n=,则m∩n的元素个数是( )

a)4 (b)5 (c)8 (d)9

2.已知f(x)=asinx+b+4(a,b为实数),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是( )

a)5 (b)3 (c)3 (d)随a,b取不同值而取不同值。

3.集合a,b的并集a∪b=,当ab时,(a,b)与(b,a)视为不同的对,则这样的(a,b)对的个数是( )

(a)8 (b)9 (c)26 (d)27

4.若直线x=被曲线c:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d,当a变化时d的最小值是( )

(a) (b) (c) (d)

5.在△abc中,角a,b,c的对边长分别为a,b,c,若ca等于ac边上的高h,则sin+cos的值是( )

(a)1 (b) (c) (d)1

6.设m,n为非零实数,i为虚数单位,zc,则方程|z+ni|+|zmi|=n与|z+ni||zmi|=m在同一复平面内的图形(f1,f2为焦点)是( )

二、填空题(每小题5分,共30分)

1.二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位,r)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为___

2.实数x,y满足4x25xy+4y2=5,设 s=x2+y2,则。

3.若zc,arg(z24)=,arg(z2+4)=,则z的值是___

4.整数的末两位数是___

5.设任意实数x0>x1>x2>x3>0,要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立,则k的最大值是___

6.三位数(100,101,,999)共900个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如198倒过来看是861;有的卡片则不然,如531倒过来看是 ,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印___张卡片.

三、(本题满分20分)

三棱锥s-abc中,侧棱sa、sb、sc两两互相垂直,m为三角形abc的重心,d为ab的中点,作与sc平行的直线dp.证明:(1)dp与sm相交;(2)设dp与sm的交点为d,则d为三棱锥s-abc的外接球球心.

四、(本题满分20分)

设0五、(本题满分20分)

设正数列a0,a1,a2,…,an,…满足。

-=2an-1,(n≥2)

且a0=a1=1,求的通项公式.

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。

参***。一、选择题(每小题5分,共30分)

1.若m=,n=,则m∩n的元素个数是( )

a)4 (b)5 (c)8 (d)9

解:tany=0,y=k(k∈z),sin2x=0,x=m(m∈z),即圆x2+y2=2及圆内的整点数.共9个.选d.

2.已知f(x)=asinx+b+4(a,b为实数),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是( )

a)5 (b)3 (c)3 (d)随a,b取不同值而取不同值。

解:设lglog310=m,则lglg3=-lglog310=-m,则f(m)=asinm+b+4=5,即asinm+b=1.

f(-m)=-asinm+b)+4=-1+4=3.选c.

3.集合a,b的并集a∪b=,当ab时,(a,b)与(b,a)视为不同的对,则这样的(a,b)对的个数是( )

(a)8 (b)9 (c)26 (d)27

解:a1∈a或a,有2种可能,同样a1∈b或b,有2种可能,但a1a与a1b不能同时成立,故有22-1种安排方式,同样a2、a3也各有22-1种安排方式,故共有(22-1)3种安排方式.选d.

4.若直线x=被曲线c:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d,当a变化时d的最小值是( )

(a) (b) (c) (d)

解:曲线c表示以(arcsina,arcsina),(arccosa,-arccosa)为直径端点的圆.即以(α,及为直径端点的圆.而x=与圆交于圆的直径.故d=≥.

故选c.5.在△abc中,角a,b,c的对边长分别为a,b,c,若ca等于ac边上的高h,则sin+cos的值是( )

(a)1 (b) (c) (d)1

解:2r(sinc-sina)=csina=2rsincsina,sinc-sina=sincsina,2cossin=-[cos(c+a)-cos(c-a)]=1-2sin2-2cos2+1].

sin+cos)2=1,但sin+cos>0,故选a.

6.设m,n为非零实数,i为虚数单位,zc,则方程|z+ni|+|zmi|=n与|z+ni||zmi|m在同一复平面内的图形(f1,f2为焦点)是( )

解:方程①为椭圆,②为双曲线的一支.二者的焦点均为(-ni,mi),由①n>0,故否定a,由于n为椭圆的长轴,而c中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴,故否定c.

由b与d知,椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上,由n为长轴,知|of1|=n,于是m<0,|of2|=-m.曲线上一点到-ni距离大,否定d,故选b.

二、填空题(每小题5分,共30分)

1.二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位,r)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为___

解:即此方程没有实根的条件.当λ∈r时,此方程有两个复数根,若其有实根,则。

x2+λx+1=0,且x2-x-λ=0.相减得(λ+1)(x+1)=0.

当λ=-1时,此二方程相同,且有两个虚根.故λ=-1在取值范围内.

当λ≠-1时,x=-1,代入得λ=2.即λ=2时,原方程有实根x=-1.故所求范围是λ≠2.

2.实数x,y满足4x25xy+4y2=5,设 s=x2+y2,则。

解:令x=rcosθ,y=rsinθ,则s=r2得r2(4-5sinθcosθ)=5.s=.

3.若zc,arg(z24)=,arg(z2+4)=,则z的值是___

解:如图,可知z2表示复数4(cos120°+isin120°).

z=±2(cos60°+isin60°)=1+i).

4.整数的末两位数是___

解:令x=1031,则得==x2-3x+9-.由于0<<1,故所求末两位数字为09-1=08.

5.设任意实数x0>x1>x2>x3>0,要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立,则k的最大值是___

解:显然》1,从而log1993>0.即++≥

就是[(lgx0-lgx1)+(lgx1-lgx2)+(lgx2-lgx3)](k.

其中lgx0-lgx1>0,lgx1-lgx2>0,lgx2-lgx3>0,由cauchy不等式,知k≤9.即k的最大值为9.

6.三位数(100,101,,999)共900个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如198倒过来看是861;有的卡片则不然,如531倒过来看是 ,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打印___张卡片.

解:首位与末位各可选择1,6,8,9,有4种选择,十位还可选0,有5种选择,共有4×5×4=80种选择.

但两端为1,8,中间为0,1,8时,或两端为,中间为0,1,8时,倒后不变;共有2×3+2×3=12个,故共有(80-12)÷2=34个.

三、(本题满分20分)

三棱锥s-abc中,侧棱sa、sb、sc两两互相垂直,m为三角形abc的重心,d为ab的中点,作与sc平行的直线dp.证明:(1)dp与sm相交;(2)设dp与sm的交点为,则为三棱锥s—abc的外接球球心.

证明:∵ dp∥sc,故dp、cs共面.

dc面dpc, m∈dc,m∈面dpc,sm面dpc.

在面dpc内sm与sc相交,故直线sm与dp相交.

∵ sa、sb、sc两两互相垂直,∴ sc⊥面sab,sc⊥sd.

dp∥sc,∴ dp⊥sd.△ddm∽△csm, m为△abc的重心,∴ dm∶mc=1∶2.∴ dd∶sc=1∶2.

取sc中点q,连dq.则sq=dd,平面四边形ddqs是矩形.

dq⊥sc,由三线合一定理,知dc=ps.

同理,da= db= db= ds.即以d为球心ds为半径作球d.则a、b、c均在此球上.即d为三棱锥s—abc的外接球球心.

四、(本题满分20分)

设0

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七。一 选择题 每小题6分,共36分 1 设a,b,c是实数,那么对任何实数x,不等式asinx bcosx c 0都成立的充要条件是。a a,b同时为0,且c 0 b c c c 2 给出下列两个命题 设a,b,c都是复数,如果a2 b2 c2,则a2 b2...

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。一 选择题 每小题5分,共30分 1 若m n 则m n的元素个数是 a 4 b 5 c 8 d 9 2 已知f x asinx b 4 a,b为实数 且f lglog310 5,则f lglg3 的值是 a 5 b 3 c 3 d 随a,b取不同值而取不...

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三。一 选择题 本题满分36分,每题6分 1 把圆x2 y 1 2 1与椭圆9x2 y 1 2 9的公共点,用线段连接起来所得到的图形为 a 线段 b 不等边三角形 c 等边三角形 d 四边形。2 等比数列的首项a1 1536,公比q 用 n表示它的前n项之积...