2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。
一．选择题(每小题5分，共30分)
1．若m=，n=，则m∩n的元素个数是（ ）
a)4 (b)5 (c)8 (d)9
2．已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）
a)5 (b)3 (c)3 (d)随a，b取不同值而取不同值。
3．集合a，b的并集a∪b=，当ab时，(a，b)与(b，a)视为不同的对，则这样的(a，b)对的个数是（ ）
（a）8 （b）9 （c）26 （d）27
4．若直线x=被曲线c:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )
(a) (b) (c) (d)
5．在△abc中，角a，b，c的对边长分别为a，b，c，若ca等于ac边上的高h，则sin+cos的值是( )
(a)1 (b) (c) (d)1
6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zc，则方程|z+ni|+|zmi|=n与|z+ni||zmi|=m在同一复平面内的图形(f1，f2为焦点)是( )
二、填空题（每小题5分，共30分）
1．二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位，r)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为___
2．实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则。
3．若zc，arg(z24)=，arg(z2+4)=，则z的值是___
4．整数的末两位数是___
5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是___
6．三位数(100，101，，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印___张卡片．
三、（本题满分20分）
三棱锥s－abc中，侧棱sa、sb、sc两两互相垂直，m为三角形abc的重心，d为ab的中点，作与sc平行的直线dp．证明：(1)dp与sm相交；(2)设dp与sm的交点为d，则d为三棱锥s－abc的外接球球心．
四、（本题满分20分）
设0五、（本题满分20分）
设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足。
－=2an－1，(n≥2)
且a0=a1=1，求的通项公式．
2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。
参***。一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若m=，n=，则m∩n的元素个数是（ ）
a)4 (b)5 (c)8 (d)9
解：tany=0，y=k(k∈z)，sin2x=0，x=m(m∈z)，即圆x2+y2=2及圆内的整点数．共9个．选d．
2．已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）
a)5 (b)3 (c)3 (d)随a，b取不同值而取不同值。
解：设lglog310=m，则lglg3=－lglog310=－m，则f(m)=asinm+b+4=5，即asinm+b=1．
f(－m)=－asinm+b)+4=－1+4=3．选c．
3．集合a，b的并集a∪b=，当ab时，(a，b)与(b，a)视为不同的对，则这样的(a，b)对的个数是（ ）
（a）8 （b）9 （c）26 （d）27
解：a1∈a或a，有2种可能，同样a1∈b或b，有2种可能，但a1a与a1b不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a2、a3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选d．
4．若直线x=被曲线c:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )
(a) (b) (c) (d)
解：曲线c表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，－arccosa)为直径端点的圆．即以(α，及为直径端点的圆．而x=与圆交于圆的直径．故d=≥．
故选c．5．在△abc中，角a，b，c的对边长分别为a，b，c，若ca等于ac边上的高h，则sin+cos的值是( )
(a)1 (b) (c) (d)1
解：2r(sinc－sina)=csina=2rsincsina，sinc－sina=sincsina，2cossin=－[cos(c+a)－cos(c－a)]=1－2sin2－2cos2+1]．
sin+cos)2=1，但sin+cos>0，故选a．
6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zc，则方程|z+ni|+|zmi|=n与|z+ni||zmi|m在同一复平面内的图形(f1，f2为焦点)是( )
解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni，mi)，由①n>0，故否定a，由于n为椭圆的长轴，而c中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定c．
由b与d知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|of1|=n，于是m<0，|of2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否定d，故选b．
二、填空题（每小题5分，共30分）
1．二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位，r)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为___
解：即此方程没有实根的条件．当λ∈r时，此方程有两个复数根，若其有实根，则。
x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相减得(λ+1)(x+1)=0．
当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．
当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2．
2．实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则。
解：令x=rcosθ，y=rsinθ，则s=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．s=．
3．若zc，arg(z24)=，arg(z2+4)=，则z的值是___
解：如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．
z=±2(cos60°+isin60°)=1+i)．
4．整数的末两位数是___
解：令x=1031，则得==x2－3x+9－．由于0<<1，故所求末两位数字为09－1=08．
5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是___
解：显然》1，从而log1993>0．即++≥
就是[(lgx0－lgx1)+(lgx1－lgx2)+(lgx2－lgx3)](k．
其中lgx0－lgx1>0，lgx1－lgx2>0，lgx2－lgx3>0，由cauchy不等式，知k≤9．即k的最大值为9．
6．三位数(100，101，，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印___张卡片．
解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．
但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个．
三、（本题满分20分）
三棱锥s-abc中，侧棱sa、sb、sc两两互相垂直，m为三角形abc的重心，d为ab的中点，作与sc平行的直线dp．证明：(1)dp与sm相交；(2)设dp与sm的交点为，则为三棱锥s—abc的外接球球心．
证明：∵ dp∥sc，故dp、cs共面．
dc面dpc， m∈dc，m∈面dpc，sm面dpc．
在面dpc内sm与sc相交，故直线sm与dp相交．
∵ sa、sb、sc两两互相垂直，∴ sc⊥面sab，sc⊥sd．
dp∥sc，∴ dp⊥sd．△ddm∽△csm， m为△abc的重心，∴ dm∶mc=1∶2．∴ dd∶sc=1∶2．
取sc中点q，连dq．则sq=dd，平面四边形ddqs是矩形．
dq⊥sc，由三线合一定理，知dc=ps．
同理，da= db= db= ds．即以d为球心ds为半径作球d．则a、b、c均在此球上．即d为三棱锥s—abc的外接球球心．
四、（本题满分20分）
设0 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七。一 选择题 每小题6分，共36分 1 设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx bcosx c 0都成立的充要条件是。a a，b同时为0，且c 0 b c c c 2 给出下列两个命题 设a，b，c都是复数，如果a2 b2 c2，则a2 b2... 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五。一 选择题 每小题5分，共30分 1 若m n 则m n的元素个数是 a 4 b 5 c 8 d 9 2 已知f x asinx b 4 a，b为实数 且f lglog310 5，则f lglg3 的值是 a 5 b 3 c 3 d 随a，b取不同值而取不... 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三。一 选择题 本题满分36分，每题6分 1 把圆x2 y 1 2 1与椭圆9x2 y 1 2 9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为 a 线段 b 不等边三角形 c 等边三角形 d 四边形。2 等比数列的首项a1 1536,公比q 用 n表示它的前n项之积...2023年全国高校自主招生数学模拟试卷
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