2024年全国高校自主招生数学模拟试卷

张喜林制。

选取日期]2024年全国高校自主招生数学模拟试卷十四。

一选择题(每小题6分，共36分)

1．设等差数列满足3a8=5a13且a1>0，sn为其前项之和，则sn中最大的是( )

(a)s10 (b)s11 (c)s20 (d) s21

2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1，z2，…，z20，则复数z，z，…，z所对应的不同的点的个数是( )

(a)4 (b)5 (c)10 (d)20

3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )

(a)1个 (b)2个 (c)50个 (d)100个。

4．已知方程|x－2n|=k (n∈n*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )

(a)k>0b)0 (c) 5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是。

a) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1

b) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1

c) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1

d) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1

6．设o是正三棱锥p—abc底面三角形abc的中心，过o的动平面与pc交于s，与pa，pb的延长线分别交于q，r，则和式++

(a)有最大值而无最小值b有最小值而无最大值。

(c)既有最大值又有最小值，两者不等 (d)是一个与面qps无关的常数。

二、填空题(每小题9分，共54分)

1．设α，β为一对共轭复数，若|α－2，且为实数，则。

2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．

3．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是．

4．直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是．

5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．

6．设m=，a是m的子集且满足条件：当x∈a时，15xa，则a中元素的个数最多是．

三。解答题。

一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．

2、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．

三、(35分) 如图，菱形abcd的内切圆o与各边分别切于e，f，g，h，在弧ef与gh上分别作圆o的切线交ab于m，交bc于n，交cd于p，交da于q，求证： mq∥np．

四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．

2024年全国高校自主招生数学模拟试卷十四。

参***。一、选择题(每小题6分，共36分)

1．设等差数列满足3a8=5a13且a1>0，sn为其前项之和，则sn中最大的是( )

(a)s10 (b)s11 (c)s20 (d) s21

解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=－a，令an=a－a (n－1)≥0，an+1= a－a n<0，得n=20．选c．

2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1，z2，…，z20，则复数z，z，…，z所对应的不同的点的个数是( )

(a)4 (b)5 (c)10 (d)20

解：设z1=cosθ+isinθ，则zk=z1εk－1，其中ε=cos+isin．ε20=1．ε15=－i，ε10=－1，ε5=i．

∴ zk1995=(cos1995θ+isin1995θ) 1995(k－1)= cos1995θ+isin1995θ)(i)k－1．

∴ 共有4个值．选a．

(a)1个 (b)2个 (c)50个 (d)100个。

解：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选d．

4．已知方程|x－2n|=k (n∈n*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )

(a)k>0b)0 (c) 解：由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k>0．

由图象可得，x=2n+1时，k≤1．即k≤．故选b．

又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－10．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+k2<2n+1． k≤．

5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是。

a) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1

b) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1

c) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1

d) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1

解： <1<，故00，logcos1sin1>0，设logsin1cos1=a，则得(sin1)a=cos11；logcos1sin1=b，则(cos1)b=sin1>cos1，0设logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，则得(sin1)c =(cos1)d=tan1，(指数函数图象进行比较)，c故选c．

6．设o是正三棱锥p—abc底面三角形abc的中心，过o的动平面与pc交于s，与pa，pb的延长线分别交于q，r，则和式++

(a)有最大值而无最小值b)有最小值而无最大值。

(c)既有最大值又有最小值，两者不等 (d)是一个与面qps无关的常数。

解：o到面pab、pbc、pca的距离相等．设∠apb=α，则。

vpqrs=d(pq·pr+pr·ps+ps·pq)sinα．(其中d为o与各侧面的距离)．

vpqrs=pq·pr·pssinαsinθ．(其中θ为ps与面pqr的夹角)

∴ d(pq·pr+pr·ps+ps·pq)=pq·pr·pssinθ．

∴++为定值．故选d．

二、填空题(每小题9分，共54分)

1．设α，β为一对共轭复数，若|α－2，且为实数，则。

解：设α=x+yi，(x，y∈r)，则|α－2|y|．∴y=±．

设argα=θ则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|故不必写出所有可能的角)．θ于是x=±1．|α2．

2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．

解：设球半径为r，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h(2r－h)．

v锥=πr2h=h2(2r－h)= h·h(4r－2h)≤=r3．

所求比为8∶27．

3．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是．

解：令lgx=t，则得t2－2=[t]．作图象，知t=－1，t=2，及1当1 4．直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是．

解：如图，即△oab内部及边界上的整点．由两轴及x+y=100围成区域(包括边界)内的整点数=1+2+3+…+101=5151个．

由x轴、y=x，x+y=100围成区域(不包括y=x上)内的整点数(x=1，2，3时各有1个整点，x=4，5，6时各有2个整点，…，x=73，74，75时有25个整点，x=76，77，…，100时依次有25，24，…，1个整点．共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由对称性，由y轴、y=3x、x+y=100围成的区域内也有1300个整点．

2024年全国高校自主招生数学模拟试卷

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