2023年全国高校自主招生数学模拟试卷

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十三。

一、选择题(本题满分36分，每题6分)

1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )

(a)线段 (b)不等边三角形 (c)等边三角形 (d)四边形。

2．等比数列的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈n*)最大的是( )

(a)π9 (b)π11 (c)π12 (d)π13

3．存在整数n,使+是整数的质数p( )

(a)不存在b)只有一个。

(c)多于一个，但为有限个d)有无穷多个。

4．设x∈(－0),以下三个数α1=cos(sinxπ),2=sin(cosxπ),3=cos(x+1)π的大小关系是( )

(a)α3<α2<α1 (b)α1<α3<α2 (c)α3<α1<α2 (d)α2<α3<α1

5．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )

(a) 4b) 4－+

6．高为8的圆台内有一个半径为2 的球o1，球心o1在圆台的轴上，球o1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球o2，使得球o2与球o1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球o2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )

(a) 1 (b) 2 (c) 3d) 4

二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

1．集合的真子集的个数是。

2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=__

3．曲线c的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点a的极坐标是(2,0)，曲线c在它所在的平面内绕a旋转一周，则它扫过的图形的面积是___

4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是___

5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有___种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)

6．在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为___

2023年全国高校自主招生数学模拟试卷十三。

参***。一、选择题(本题满分36分，每题6分)

1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )

(a)线段 (b)不等边三角形 (c)等边三角形 (d)四边形。

解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，8y2－20y+8=0，y=2或，相应的，x=0，或x=±．

此三点连成一个正三角形．选c．

2．等比数列的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈n*)最大的是( )

(a)π9 (b)π11 (c)π12 (d)π13

解：πn=1536n×(－故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：

又， =15363()66－36>1， =1536()78－66<1．故选c．

3．存在整数n,使+是整数的质数( )

(a)不存在b)只有一个。

(c)多于一个，但为有限个d)有无穷多个。

解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈n+)，使+=2k+1．故选d．

4．设x∈(－0)，以下三个数α1=cos(sinxπ),2=sin(cosxπ),3=cos(x+1)π的大小关系是( )

(a)α3<α2<α1 (b)α1<α3<α2 (c)α3<α1<α2 (d)α2<α3<α1

解：α1= cos(sin|x|π)0，α2=sin(cos|x|π)0，α3=cos(1－|x|)π0，排除b、d．

sin|x|π+cos|x|π=sin(|x|π+于是cos|x|πα2．

5．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )

a) 4b) 4－+

c) 1d)以上答案都不对。

解：g(x)= x+=x+x+≥3=．当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值．

－=，p=－2，q=+．

由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－+．故选b．

(a) 1 (b) 2 (c) 3d) 4

解：o2与下底距离=3，与o1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？

右图中，由sin∠o2hc=3/4>0．707，即∠o2ho3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选b．

二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

1．集合的真子集的个数是。

解由已知，得2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=__

解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i， =cos(－)isin(－)

设z2的辐角为θ(0<θ<则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．z2=2sinθ[cos(θ－isin(θ－若其实部为0，则θ－=于是θ=．z2=－+i．

3．曲线c的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点a的极坐标是(2,0)，曲线c在它所在的平面内绕a旋转一周，则它扫过的图形的面积是___

解：只要考虑|ap|最长与最短时所**段扫过的面积即可．

设p(1+cosθ，θ则|ap|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5

－3(cosθ+)2+≤．且显然|ap|2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．

解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．

取cd中点g，则ag⊥cd，eg⊥cd，故∠age是二面角a—cd—e的平面角．由bd⊥ac，作平面bdf⊥棱ac交ac于f，则∠bfd为二面角b—ac—d的平面角．

ag=eg=，bf=df=，ae=2=2．

由cos∠age=cos∠bfd，得=．

=9b2=16a2，b=a，从而b=2，2a=3．

ae=2．即最远的两个顶点距离为3．

5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有___种。(注：

如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。)

解：至少3种颜色：

6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；

用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：c (4－1)! 30；6×30÷2=90种方法；．

用4种颜色：cc=90种方法．

用3种颜色：c=20种方法．

共有230种方法．

6．在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为___

解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数．

显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99．

则得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4)

由于m为正整数，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡

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