(a) 57b) 49c) 43d)37
二、填空题( 本题满分54分，每小题9分) 各小题只要求直接填写结果。
1．若f (x) (xr)是以2为周期的偶函数， 当x[ 0, 1 ]时，f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是。
2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是p, q, r.当p, q, r不共线时，以线段pq, pr为两边的平行四边形的第四个顶点为s, 点s到原点距离的最大值是。
3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数， 使其和为不小于10的偶数， 不同的取法有___种。
4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有___项。
5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是。
6．abc中， c = 90o, b = 30o, ac = 2, m是ab的中点。 将acm沿cm折起，使a,b两点间的距离为 2，此时三棱锥a-bcm的体积等于。
三、（本题满分20分）
已知复数z=1－sinθ+icosθ(<求z的共轭复数的辐角主值．
四、（本题满分20分）
设函数f (x) =ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上， 不等式| f (x)| 5都成立．
问：a为何值时l(a)最大？ 求出这个最大的l(a)．证明你的结论。
五、（本题满分20分）
已知抛物线y 2 = 2px及定点a(a, b), b( –a, 0) ,ab 0, b 2 2pa)．m是抛物线上的点， 设直线am, bm与抛物线的另一交点分别为m1, m2．
求证：当m点在抛物线上变动时(只要m1, m2存在且m1 m2)，直线m1m2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．
2024年全国高校自主招生数学模拟试卷十一。
参***。一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．若a > 1, b > 1, 且lg (a + b) =lg a + lg b, 则lg (a –1) +lg (b –1) 的值( )
（a）等于lg2b）等于1
(c ) 等于0d) 不是与a, b无关的常数。
解：a+b=ab，(a－1)(b－1)=1，由a－1>0，b－1>0，故lg(a－1)(b－1)=0，选c．
2．若非空集合a=,b=,则能使aa∩b成立的所有a的集合是( )
（a）(c) 前n项之和记为s n ,若s10 = 10, s30 = 70, 则s40等于( )
(a) 150b) 200
(c) 150或 200d) 50或400
解：首先q≠1，于是， (q10－1)=10， (q30－1)=70，∴ q20+q10+1=7．q10=2．(－3舍)
s40=10(q40－1)=150．选a．
4.设命题p：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a 2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同；
命题q： =则命题q( )
(a) 是命题p的充分必要条件。
(b) 是命题p的充分条件但不是必要条件。
(c) 是命题p的必要条件但不是充分条件。
(d) 既不是是命题p的充分条件也不是命题p的必要条件。
解：若两个不等式的解集都是r，否定a、c，若比值为－1，否定a、b，选d．
5.设e, f, g分别是正四面体abcd的棱ab,bc,cd的中点，则二面角c—fg—e的大小是( )
(a) arcsin (b) +arccos (c)－arctan (d) πarccot
解：取ad、bd中点h、m，则eh∥fg∥bd，于是eh在平面efg上．设cm∩fg=p，am∩eh=q，则p、q分别为cm、am中点，pq∥ac．
ac⊥bd，pq⊥fg，cp⊥fg，∠cpq是二面角c—fg—e的平面角．
设ac=2，则mc=ma=，cos∠acm==．
选d．6.在正方体的8个顶点， 12条棱的中点， 6个面的中心及正方体的中心共27个点中， 共线的三点组的个数是( )
(a) 57b) 49c) 43d)37
解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．
体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组；
面中心为中点：4×6=24组；
棱中点为中点：12个．共49个，选b．
二、填空题( 本题满分54分，每小题9分) 各小题只要求直接填写结果。
1．若f (x) (xr)是以2为周期的偶函数， 当x[ 0, 1 ]时，f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是。
解：f()=f(6－)=f()．f()=f(6－)=f()，f()=f(6+)=f()．
现f(x)是[0，1]上的增函数．而<<．故f() 2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是p, q, r.当p, q, r不共线时，以线段pq, pr为两边的平行四边形的第四个顶点为s, 点s到原点距离的最大值是。
解。(1+i)z+2－z=iz+2
(2cosθ－sinθ)+i(cosθ－2sinθ)．
|os|2=5－4sin2θ≤9．即|os|≤3，当sin2θ=1，即θ=时，|os|=3．
3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数， 使其和为不小于10的偶数， 不同的取法有___种。
解：从这10个数中取出3个偶数的方法有c种，取出1个偶数，2个奇数的方法有cc种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种．
4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有___项。
解：设其首项为a，项数为n．则得a2+(n－1)a+2n2－2n－100≤0．
=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0．∴ n≤8．
取n=8，则－4≤a≤－3．即至多8项．
也可直接配方：(a+)2+2n2－2n－100－()2≤0．解2n2－2n－100－()2≤0仍得n≤8．)
5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是。
解：2y=4－4(y－a)2，2y2－(4a－1)y+2a2－2=0．此方程至少有一个非负根．
△=4a－1)2－16(a2－1)=－8a+17≥0．a≤．
两根皆负时2a2>2，4a－1<0．－16．abc中， c = 90o, b = 30o, ac = 2, m是ab的中点。 将acm沿cm折起，使a,b两点间的距离为 2，此时三棱锥a－bcm的体积等于。
解：由已知，得ab=4，am=mb=mc=2，bc=2，由△amc为等边三角形，取cm中点，则ad⊥cm，ad交bc于e，则ad=，de=，ce=．
折起后，由bc2=ac2+ab2，知∠bac=90°，cos∠eca=．
ae2=ca2+ce2－2ca·cecos∠eca=，于是ac2=ae2+ce2．∠aec=90°．
ad2=ae2+ed2，ae⊥平面bcm，即ae是三棱锥a－bcm的高，ae=．
s△bcm=，va—bcm=．
三、（本题满分20分）
已知复数z=1－sinθ+icosθ(<求z的共轭复数的辐角主值．
解：z=1+cos(+θisin(+θ2cos2+2isincos
2cos (cos+isin)．
当<θ<时， =2cos (－cos+isin)
－2cos(+)cos(－)isin(－)
辐角主值为－．
四、（本题满分20分）
设函数f (x) =ax2 +8x+3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上， 不等式| f (x)| 5都成立．
问：a为何值时l(a)最大？ 求出这个最大的l(a)．证明你的结论．
解： f(x)＝a(x+)2+3－．
1)当3－＞5，即－8＜a＜0时，l(a)是方程ax2+8x+3＝5的较小根，故l(a)＝．
2)当3－≤5，即a≤－8时，l(a)是方程ax2+8x+3＝－5的较大根，故l(a)＝．
2024年全国高校自主招生数学模拟试卷
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