2024年全国高校自主招生数学模拟试卷十二。
一、选择题(36分)
1．已知数列满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记sn=x1+x2++xn，则下列结论正确的是。
a)x100a，s100=2bab)x100b，s1002ba
c)x100b，s100=bad)x100a，s100ba
2．如图，正四面体abcd中，e在棱ab上，f在棱cd上，使得==λ0<λ<记f(λ)其中αλ表示ef与ac所成的角，βλ表示ef与bd所成的角，则。
(a) f(λ)在(0，+∞单调增加
(b) f(λ)在(0，+∞单调减少。
(c) f(λ)在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少。
(d) f(λ)在(0，+∞为常数。
3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有。
a)2个 (b)3个 (c)4个 (d)5个。
4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为。
(a)(0，1) (b)(1c)(0，5) (d)(5，+∞
5．设f(x)=x2－πx， arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)arccot(－)则。
a)f(α)f(β)f()>fb) f(α)f()>f(β)f(γ)
c) f()>f(α)f(β)fd) f()>f(α)f(γ)f(β)
6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有。
a) 0条 (b) 1条 (c)多于1 的有限条 (d) 无穷多条。
二．填空题(每小题9分，共54分)
1．设x，y为实数，且满足则x+y .
2．过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，若实数λ使得|ab| λ的直线l恰有3条，则λ=
3．已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是。
4．已知三棱锥sabc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，则点o到平面abc的距离为。
5．设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到d点，则停止跳动；若5次之内不能到达d点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．
6．设a logz+log[x(yz)1+1]，b logx1+log(xyz+1)，c logy+log[(xyz)1+1]，记a，b，c中最大数为m，则m的最小值为 ．
三、（20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z ，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．
四、(20分)
设双曲线xy1的两支为c1，c2(如图)，正三角形pqr的三顶点位于此双曲线上．
1)求证：p、q、r不能都在双曲线的同一支上；
2)设p(1，1)在c2上， q、r在c1上，求顶点q、r的坐标．
五、(20分)
设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足。
其中s为实数且|s|≤2．
求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
2024年全国高校自主招生数学模拟试卷十二。
参***。一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知数列满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记sn=x1+x2++xn，则下列结论正确的是。
a)x100a，s100=2bab)x100b，s1002ba
c)x100b，s100=bad)x100a，s100ba
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故s100=2b－a．选a．
2．如图，正四面体abcd中，e在棱ab上，f在棱cd上，使得==λ0<λ<记f(λ)其中αλ表示ef与ac所成的角，βλ表示ef与bd所成的角，则。
(a) f(λ)在(0，+∞单调增加
(b) f(λ)在(0，+∞单调减少。
(c) f(λ)在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少。
(d) f(λ)在(0，+∞为常数。
解：作eg∥ac交bc于g，连gf，则==，故gf∥bd．故∠gef=αλgfe=βλ但ac⊥bd，故∠egf=90°．故f(λ)为常数．选d．
3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有。
a)2个 (b)3个 (c)4个 (d)5个。
解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972，即n为2×972的大于3的约数．
⑴ n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1时a<0．有一解；
n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解；
n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n<3.．选c
4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为。
(a)(0，1) (b)(1c)(0，5) (d)(5，+∞
解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比：
<1m>5，选d．
5．设f(x)=x2－πx， arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)arccot(－)则。
(a)f(α)f(β)f()>fb) f(α)f()>f(β)f(γ)
c) f(i)>f(α)f(β)fd) f()>f(α)f(γ)f(β)
解：f(x)的对称轴为x=，易得， 0<α<选b．
6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有。
a) 0条 (b) 1条 (c)多于1 的有限条 (d) 无穷多条。
解：在a、b、c上取三条线段ab、cc、ad，作一个平行六面体abcd—abcd，在c上取线段ad上一点p，过a、p作一个平面，与dd交于q、与cc交于r，则qr∥a，于是pr不与a平行，但pr与a共面．故pr与a相交．由于可以取无穷多个点p．故选d．
二．填空题(每小题9分，共54分)
1．设x，y为实数，且满足则x+y .
解：原方程组即。
取 f(t)=t3+1997t+1，f (t)=3t2+1987>0．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2．
2．过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于a、b两点，若实数λ使得|ab| λ的直线l恰有3条，则λ=
解：右支内最短的焦点弦==4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时。
设ab的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ==4，当θ=90°时，λ=4．
与左支相交时，θ=arccos时，λ=4．故λ=4．
3．已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是。
解： =14r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=>0，故必须x1+x2=－>0．
cos2θ≤－2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos．
kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)
4．已知三棱锥sabc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，则点o到平面abc的距离为。
解：sa=sb=sc=2，s在面abc上的射影为ab中点h，∴ sh⊥平面abc．
sh上任意一点到a、b、c的距离相等．
sh=，ch=1，在面shc内作sc的垂直平分线mo与sh交于o，则o为sabc的外接球球心．sm=1，∴so=，∴oh=，即为o与平面abc的距离．
5．设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到d点，则停止跳动；若5次之内不能到达d点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．
解：青蛙跳5次，只可能跳到b、d、f三点(染色可证)．
青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：
规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．
前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．
共有2+6×4=26种方法．
6．设a logz+log[x(yz)1+1]，b logx1+log(xyz+1)，c logy+log[(xyz)1+1]，记a，b，c中最大数为m，则m的最小值为 ．
解：a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y)．
a+c=log(++yz+x)≥2log2．于是a、c中必有一个≥log2．即m≥log2，于是m的最小值≥log2．
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