双曲线练习题。
1．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为。
abcd．
答案】a解析】
试题分析：直线的方程为，与双曲线渐近线的交点为，与双曲线在第一象限的交点为，所以，，由得，解之得，所以，，故选a.
考点：双曲线几何性质、向量运算。
2．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ）
ab． cd
答案】a解析】
试题分析：根据题意，抛物线上一点m（1，m）到其焦点的距离为5，则，解得。
p=8；即抛物线的方程为，把m（1，m）代入，可得m=4，即m的坐标为（1，4），双曲线的左顶点为a，则a＞0，且a的坐标为，渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线与。
直线am平行，所以，解得，故选a
考点：本题考查抛物线的定义，双曲线的几何性质。
点评：解决本题的关键是掌握抛物线的定义，焦半径公式，以及双曲线的几何性质。
3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第。
二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的双曲线的离心率等于（ ）
abcd．
答案】c．解析】设双曲线的标准方程为分别是在第。
二、四象限的公共点，四边形为矩形， 即故选c．
考点定位】本题考查椭圆、双曲线的简单几何性质等知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、运算求解的能力．
4．已知双曲线的右焦点为f，若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）
a. bcd.
答案】a.解析】
试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是。故应选a.
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质。
5．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （
ab．2cd．
答案】d解析】
试题分析：由已知得，在中， =由双曲线定义得，，过点作，垂足为，则在中有，化简得，，得．
考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．
6．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )
a. b. c. d.
答案】a.解析】
试题分析：由题意可得，椭圆的离心率，双曲线的离心率，，∴双曲线的渐近线方程为，即。
考点：椭圆与双曲线的标准方程。
7．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的。
焦点，若，则的值是（ ）
ab. c. d.
答案】d解析】
试题分析：∵直线y=k（x-2）（k＞0）恒过定点（2，0）即为抛物线y2=8x的焦点f过a，b两点分别作准线的垂线，垂足分别为c，d，再过b作ac的垂线，垂足为e，设|bf|=m，|fa|=2|fb|，∴af|=2m
ac=af=2m，|bd|=|bf|=m
如图，在直角三角形abe中，ae=ac-bd=2m-m=m，ab=3m，cos∠bae=
直线ab的斜率为：k=tan∠bae=2,故选 d.
考点：直线与圆锥曲线的关系。
8．如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近。
线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为。
ab） （cd）
答案】b解析】
试题分析：双曲线的渐近线方程为，直线l的倾斜角是渐近线oa倾斜角的2倍，直线l的方程为，与联立，可得或，c=2b，．故选：b．
考点：双曲线的简单性质。
9．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且ab∥op(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
a． b． c． d．
答案】c解析】由题意设p(－c，y0)，将p(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则＝b2＝b2·＝．
y0＝或y0＝－(舍去)，p，∴kop＝－．
a(a,0)，b(0，b)，∴kab＝＝－
又∵ab∥op，∴kab＝kop，∴－b＝c．
e＝＝＝故选c．
10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为( )
a．－＝1b．－＝1
c．－＝1d．－＝1
答案】a解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心c(3,0)，半径r＝2．
又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆c相切．
由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①
因为双曲线右焦点为圆c的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②
由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选a．
11．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1(m，n，p，q均为正数)有共同的焦点f1，f2，p是两曲线的一个公共点，则·＝(
a．p2－m2 b．p－m c．m－p d．m2－p2
答案】c解析】据题意可知，双曲线的焦点在x轴上，即f1，f2在x轴上，∴椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴为．
p既在椭圆上，又在双曲线上，据椭圆和双曲线的定义知，两式平方相减得4＝4(m－p)，＝m－p．
12．设f(1,0)，m点在x轴上，p点在y轴上，且＝2，⊥，当点p在y轴上运动时，点n的轨迹方程为( )
a．y2＝2x b．y2＝4x
c．y2＝x d．y2＝x
答案】b解析】设m(x0,0)，p(0，y0)，n(x，y)，⊥x0，－y0)，(1，－y0)，(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，x0＋y02＝0．
由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，即。
－x＋＝0，即y2＝4x．
故所求的点n的轨迹方程是y2＝4x．
故选b．13．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为。
abcd.3
答案】b解析】
试题分析：因为是双曲线上一点，所以，又。
所以，，所以。
又因为，所以有，，即。
解得：（舍去），或；
所以，所以。
故选b.考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质。
14．已知点是双曲线的左焦点，离心率为，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则（ ）
abcd．
答案】d解析】
试题分析：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作pq⊥l于q，双曲线的右焦点为，由题意可知f为圆x2+y2=c2的直径，设p（x，y），（x＞0），则p⊥pf，且tan∠pff′＝，满足，将（1）代入（2）得x2+4cx-c2=0，则x==-2c，即x=，或x=（舍去）
将x=代入③，得，即y＝，再将y代入①得，，即)，，即e2=1+=.故选d．
考点：双曲线的简单性质．
15．椭圆的左、右焦点为，过作直线交c于a，b两点，若是等腰直角三角形，且，则椭圆c的离心率为（ ）
a． b． c． d．
答案】c解析】
试题分析：由题意得，，∴
考点：椭圆的标准方程及性质。
16．（本小题满分14分）设、是焦距为的椭圆的左、右顶点，曲线上的动点满足，其中，和是分别直线、的斜率．
1）求曲线的方程；
2）直线与椭圆只有一个公共点且交曲线于两点，若以线段为直径的圆过点，求直线的方程．
答案】（1）；（2）3x＋2y＋5＝0．
解析】试题解析：（1）由已知椭圆中，，∴解得a＝2，所以 a，b的坐标为 a（1,0）, b（1,02 分。
设p（x, y），则由已知可得，即，所以曲线的方程为5 分。
2）若直线mn 垂直x轴，则与曲线只有一个交点，与题意不符，所以直线mn 存。
在斜率，故设直线mn 的方程为：y＝kx＋m， 6 分。
代入椭圆方程整理，得，由题意可得直线与椭圆相切，故，即7 分。
将y＝kx＋m代入，整理得，设，则 ②
且8 分。故
10 分。由以线段mn 为直径的圆过点b，所以bm⊥bn ，得m－k＝－112分。
由①③解得，经检验满足条件②
所以存在直线mn 满足条件，其方程为3x＋2y＋5＝014 分。
考点：考查求曲线的方程，直线与圆，直线与抛物线的位置关系．
点评：利用直接法求曲线的方程，把直线与圆锥曲线方程联立是解决直线与圆锥曲线问题的通法，利用根与系数的关系来解题．
17．（本题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为．
1）求椭圆的方程；
2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
答案】（1）；（2）
解析】试题分析：（1）由题意得，解得，，进而求出椭圆的方程．
2）以线段为直径的圆过轴上的定点，由得．
设，则有，，进而可得点，可知直线的方程为，故点；直线的方程为，故点，若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．即可得到．解得，进而可得以线段为直径的圆过轴上的定点．
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