1.如图，在长方体中，，，为的中点．
ⅰ）求证：平面；
(ii)求二面角的余弦值。
ⅰ）证明：侧面，侧面，，
……2分。在中，则有， ，5分。
又平面………6分。
(ii)以点d为坐标原点，建立如图所示的坐标系d-xyz.
则d(0,0,0) ,b(2a,a,0),e(a,a,a,),a(0,a,0),9分。
设平面bde的法向量为，则由，得，，令x=1,得10分。
又由（i）平面，为平面的法向量，……11分。
即所求二面角的余弦值为13分。
2.如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的余弦值．
解：（ⅰ证明：连结．
因为底面是正方形，所以．
因为平面，平面，所以3分。
又因为，所以平面．……5分。
因为平面，所以7分。
解法（二）（ⅰ如图以为原点建立空间直角坐标系．
则，……3分。
所以．即7分。
ⅱ）由（ⅰ）得，．
设平面的法向量为，则由，得。
即。取，得11分。
易知平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为．
则．即二面角的余弦值为14分。
3.如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，m、n分别为pa、bc的中点，pd⊥平面abcd，且pd=ad=，cd=1
（1）证明：mn∥平面pcd；
（2）证明：mc⊥bd；
（3）求二面角a—pb—d的余弦值。
解： 解：（1）证明：取ad中点e，连接me，ne，由已知m，n分别是pa，bc的中点，∴me∥pd，ne∥cd
又me，ne平面mne，mene=e，所以，平面mne∥平面pcd2分。
所以，mn∥平面pcd 3分。
（2）证明：因为pd⊥平面abcd，所以pd⊥da，pd⊥dc，
在矩形abcd中，ad⊥dc，如图，以d为坐标原点，射线da，dc，dp分别为。
轴、轴、轴[**：]
正半轴建立空间直角坐标系 4分。
则d（0，0，0），a（，0，0），b（，1，0）
0，1，0），p（0，0，）6分。
所以（，0，），7分。
∵·=0，所以mc⊥bd8分。
3）解：因为me∥pd，所以me⊥平面abcd，me⊥bd，又bd⊥mc，所以bd⊥平面mce,所以ce⊥bd，又ce⊥pd，所以ce⊥平面pbd， 9分。
由已知，所以平面pbd的法向量 10分。
m为等腰直角三角形pad斜边中点，所以dm⊥pa，又cd⊥平面pad，ab∥cd，所以ab⊥平面pad，ab⊥dm，所以dm⊥平面pab11分。
所以平面pab的法向量（-，012分。
设二面角a—pb—d的平面角为θ，则。
所以，二面角a—pb—d的余弦值为。 13分。
4. 如图，正四棱柱中，，点在上且．
1）求异面直线与所成角的余弦值；
2）证明：平面；
3）求二面角的余弦值．
解：如图，建立空间直角坐标系．
则．1） 解：
异面直线与所成角的余弦值为………3
2） 证明：
又。平面6
3） 解：由（2）知向量为平面的一个法向量7
设平面的法向量。
由， 得， 令，得9
又二面角为锐角。
二面角的余弦值为13
5. 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且。
分别是线段的中点．
ⅰ）求证： /平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的大小．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，，.
2分。ⅰ）证明：∵,平面，且平面4分。
//平面5分。
ⅱ）解6分。
8分。又，
平面9分。ⅲ）设平面的法向量为，
因为，则取12分。
又因为平面的法向量为。
所以13分。
所以二面角的大小为14分。
6.正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（ⅰ如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，又与交于点。
平面4分。ⅱ）设与所成的角为．，．
所求异面直线与所成角的余弦值为9分。
ⅲ）设平面与直线所成的角为．
设平面的法向量为．，．
令，则。所求平面与直线所成角的正弦值为14分。
7.在正四棱柱中，e,f分别是的中点，g为上任一点，ec与底面abcd所成角的正切值是4.
ⅰ）求证agef；
ⅱ）确定点g的位置，使ag面cef,并说明理由；
ⅲ）求二面角的余弦值。
解：∵是正四棱柱。
∴abcd是正方形，设其边长为2a,ecd是ec与底面所成的角。而ecd=cec1, ∴cc1=4ec1=4a.……1分。
以a为原点，ab、ad、aa1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的直角坐标系。
则a(0,0,0),b(2a,0,0),c(2a,2a,0),d(0,2a,0),a1(0,0,4a),b1(2a,0,4a),c1(2a,2a,4a),d1(0,2a,4a),e(a,2a,4a),f(2a,a,4a),设g(2a,2a,b)(0（ⅰ）2a,2a,b）, a,-a,0), 2a2-2a2+0=0,
agef6分。
ⅱ）由（ⅰ）知，使ag面cef，只需agce,只需=（2a,2a,b）（-a,0,4a）=-2a2+4ab=0,b=a,即cg=cc1时，ag面cef。……10分。
ⅲ）由（ⅱ）知，当g(2a,2a, a)时，是平面cef的一个法向量，由题意可得，是平面cec1的一个法向量，设二面角的大小为，则cos===二面角的余弦值为14分。
8.已知：四棱锥中，平面，底面是菱形，且， ,的中点分别为、.
.求证。.求二面角的余弦值。
.**段上是否存在一点，使得||平面？若存在指出在上位置并给以证明，若不存在，请说明理由。
证明： 平面
1分。连结底面是菱形。
是正三角形，又时的中点。
2分。而平面。__4分。
或证明后，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，用向量方法证明，从而得出也可以）
.由ⅰ知、、彼此两两垂直，故以、、分别为。
、轴建立空间直角坐标系，__5分。
6分。设平面的法向量为，则求得。
平面的法向量为 __7分。
设二面角的平面角为，则。
即二面角的余弦值为； _9分。
. **段上存在中点，使得||平面___12分。
方法1：设的中点为，连结，易证四边形为平行四边形， 又平面，平面。
平面14分。
方法2：假设**段上存在点，使得||平面，__12分。
则 ， 设平面的法向量为，由得。
且，解得。故**段上存在中点，使得||平面___14分。
9. 如图正三棱柱，,，若为棱中点。
（ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求与平面所成的角正弦值。
证明：（ⅰ连结和交于点，连．
是正三棱柱，
为的中点。又为棱中点，在中， ,又，平面，∥平面6分。
ⅱ）建如图所示空间直角坐标系，，，
设平面的法向量为n，，即，令，得n，∴，与平面所成的角正弦值为。……13分。
10.如图，四棱锥p—abcd中，底面abcd是直角梯形，∠dab=90°，ad//bc，ad⊥侧面pab，△pab是等边三角形，da=ab=2，bc=ad，e是线段ab的中点。
（i）求证：pe⊥cd；
（ii）求四棱锥p—abcd的体积；
（iii）求pc与平面pde所成角的正弦值。
解：（i）证明：因为ad⊥侧面pab，pe平面pab，所以ad⊥pe2分。
又因为△pab是等边三角形，e是线段ab的中点，所以pe⊥ab.
因为ad∩ab=a，所以pe⊥平面abcd4分。
而cd平面abcd，所以pe⊥cd5分。
（ii）由（i）知：pe⊥平面abcd，所以pe是四棱锥p—abcd的高。
由da=ab=2，bc=ad，可得bc=1.
因为△pab是等边三角形，可求得。
所以………9分。
（iii）以e为原点，建立如图所示的空间直角坐标系e—xyz.
令 ……12分。
设pc与平面pde所成的角为。
所以pc与平面pde所成角的正弦值为 ……14分。
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