亲爱的同行们，这不是病毒，这只是写在前面的话，答案在下面！
一个倍感悲凉的数学竞赛辅导老师。
一年一度的全国初中数学竞赛又结束了，学生考完后带他们去吃了顿便饭，看到他们虽然考得一塌糊涂但是终于解放了的开心又带着一丝无奈的神情，我感到很揪心！
下午一回到家，把儿子撂在一边，花了2个半钟终于全部做完，虽然感觉解题能力比起三年前已大打折扣，但还能全部做完并全部做对，还是感到一丝欣慰，毕竟还没有那么老去！
然而，当我上各大数学论坛浏览今天的竞赛消息时，却再一次发现了令人震惊的网上预知竞赛题的事情（上一次是三年前的时候，后来因做班主任歇了2年没带竞赛），我不禁悲从中来，花那么多心血去辅导学生数学竞赛知识，却没有别人弄几道全真题来的便宜！这是什么世界啊？要知道，我的学生都是农村中学的，他们很多人连十字相乘法与切割线定理都是手把手教会的啊！
以后真的不想再带竞赛了，因为，我只是一个普通而平凡的数学老师！我所能靠的只是自己的良心！在这场不公平的比赛中，失败注定伴我左右！
附网上论坛地址：
中国教育学会中学数学教学专业委员会。
《数学周报》杯”2024年全国初中数学竞赛试题参***。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。 以下每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足，则等于（ ）
a）－1b）0c）1 （d）2
【答】c．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．
2．如图，菱形abcd的边长为a，点o是对角线ac上的一点，且oa＝a，ob＝oc＝od＝1，则a等于（ ）
a） （b） （c）1 （d）2
答】a．解：因为△boc ∽ abc，所以，即。
所以。由，解得．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先。
后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（ ）
（abc） （d）
【答】d．解：当时，方程组无解．
当时，方程组的解为。
由已知，得即或。
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得。
共有 5×2＝10种情况；或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
4．如图1所示，在直角梯形abcd中，ab∥dc，. 动点p从点。
b出发，沿梯形的边由b→c→d→a运动。 设点p运动的路程为x，△abp的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△abc的面积为（ ）
a）10 （b）16 （c）18 （d）32
【答】b．解：根据图像可得bc＝4，cd＝5，da＝5，进而求得ab＝8，故。
s△abc＝×8×4＝16.
5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）
a）2组 （b）3组 （c）4组 （d）无穷多组。
【答】c．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为。
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．
由。解得 ≤．于是。
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当y＝－4时，原方程为，此时．
所以，原方程的整数解为。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为。又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有。
两式相加，得。
则。7．已知线段ab的中点为c，以点a为圆心，ab的长为半径作圆，**段ab的延长线上取点d，使得bd＝ac；再以点d为圆心，da的长为半径作圆，与⊙a分别相交于f，g两点，连接fg交ab于点h，则的值为 ．
解：如图，延长ad与⊙d交于点e，连接af，ef ．
由题设知，，在△fha和△efa中，
所以rt△fha∽rt△efa，而，所以。
8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为。
答】 10．
解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．
又因为，所以。
由，可得．9．如图，在△abc中，cd是高，ce为的平分线．若ac＝15，bc＝20，cd＝12，则ce的长等于。
答】．解：如图，由勾股定理知ad＝9，bd＝16，所以ab＝ad＋bd＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△acb为直角三角形，且．
作ef⊥bc，垂足为f．设ef＝x，由，得cf＝x，于是bf＝20－x．由于ef∥ac，所以
即。解得．所以．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是。
【答】．解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以。
解得．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线与动直线有公共点，且。
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值。
解：（1）联立与，消去y得二次方程。
有实数根，，则．所以。
5分。把②式代入方程①得。
10分。t的取值应满足。
且使方程③有实数根，即。
解不等式④得 ≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.
所以，t的取值范围为。
………15分。
2) 由②式知。
由于在≤≤时是递增的，所以，当。
时20分。12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．
解：由可得．，且。
………5分。
因为是奇数，所以等价于，又因为，所以等价于．因此有，于是可得．
15分。又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为。
11＋192（1＋2＋…＋10）＝1057120分。
13．如图，给定锐角三角形abc，，ad，be是它的两条高，过点作△abc的外接圆的切线，过点d，e分别作的垂线，垂足分别为f，g．试比较线段df和eg的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是．下面给出证明5分。
因为，所以rt△fcd ∽ rt△eab．于是可得。
同理可得。………10分。
又因为，所以有，于是可得。
20分。解法2：结论是．下面给出证明。
………5分。
连接de，因为，所以a，b，d，e四点共圆，故。
10分。又l是⊙o的过点c的切线，所以15分。
所以，，于是de∥fg，故df＝eg．
………20分。
14．n个正整数满足如下条件：；
且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即．
于是，对于任意的1≤≤n，都有。
从而5分。由于是正整数，故。
10分。由于
所以，≤2008，于是n ≤45
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