2023年潮阳林百欣。
高二级数学竞赛初选赛试卷。
一、 填空题（本大题共有10小题，每小题答对6分，答错扣3分，满分60分）
01. 把1，2，3，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为。若的最大值为，最小值为，则 .1505
02. 从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是___
03. 右图的发生器对于任意函数，可制造出一系列的数据，其工作原理如下：
若输入数据，则发生器结束工作；
若输入数据时，则发生器输出，其中，并将反馈回输入端。
现定义，.若输入，那么，当发生器结束工作时，输出的所有数据的总和为 119
04. 如果二次方程的正根小于3, 那么这样的二次方程有___个。7
05. 以为六条棱的长的四面体个数为___
解：以这些边为三角形仅有四种：，，
固定四面体的一面作为底面：
当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即；
当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。
其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。
06. 方程在区间上的实根个数为___1
07. 已知函数，则___1
08. 各棱都相等的正三棱柱，p是的中点，二面角，则
09. 双曲线的右半支与直线x=100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是9800
10. 已知是公差不为0的等差数列， 是等比数列，且存在常数，使得对每一个正整数n都有，则。
二、 解答题（本大题共3小题，共60分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
01. 已知不等式对于恒成立，求的取值范围。
解：设，则，
从而原不等式可化为：
分离参数得：
原不等式等价于在区间上恒成立。
从而只要。又容易知道在上递减，。 所以。
02. 设非负实数，，满足，求证：
证明：∵，不妨设，注意到条件，得。
所以， 综上，.
03. （本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点，其中且，线段ab的垂直平分线与轴交于点，求abc面积的最大值。
解：设线段的中点为，则 ，.
线段的垂直平分线的方程是1）
易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为。 （5分）
由（1）知直线的方程为，即2）
2）代入得 ，即 .（3）
依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以，所以。
定点到线段的距离。
10分）15分）
当且仅当，即，或。
时等号成立。
所以面积的最大值为20分）
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