数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、设随机变量~，且，则。
2、已知（3x+2y）+(5x-y)i=17-2i (x,y∈r)，则xy
3、对于线性回归方程，当时，的估计值为 。
4、已知，则(的值等于。
5、利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是。
6、曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为。
7、设把直线变换为自身，则 ，
8、设z=x+yi（），且的最小值是。
9、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖块。
10、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为。
11、已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比为。
10：1，则展开式中含的项为。
12、一盒中有9个**和3个废品，每次取一个产品，取出后不再放回。在取得**前已取出的废品数ξ的期望e
13、的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于。
14、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6
个部分（如图），现要求栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种，且相邻部分不能栽种同种颜色的。
花，不同的栽种方法有___种。
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15、（本题14分）已知（a＞0），复数，若w的虚部减去它的实部所得的差等于，求的模。
16、（本题14分）在二项式的展开式中，第6项与第7的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
17、（本题14分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。
1）根据以上数据建立一个列联表；
2）判断休闲方式与性别是否有关。
参考公式：
参考数据：，）
18、（本题16分）（1）已知矩阵，向量，求。
2）若矩阵a有特征值，它们所对应的特征向量分别为和，①求矩阵a及其逆矩阵；②已知，试求。
19、（本题16分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
20、（本题16分）是否存在常数a、b,使得等式：对一切正整数n都成立？并证明你的结论。
答案：1、 2、x=1，y 4、 5、n+2
分析：这个问题是用四种颜色涂6个区域，经分析必须要用到四种颜色（全部用，颜色种数分类不行）因此我们要把6个区域分成4组（每一组涂一色），相邻区域不能分在同一组，所以1号区域单独一组，其余三个区域只能分成三组，也就是这五个区域有一个区域单独一组，可分为号五种情况：
每种情况都有。然后对每一种情况再进行涂色，比如2与4，3与5同色，我们只须涂共总共由。
15、解：∵
w的实部为，虚部为。
由已知得：
即又。16、解：二项式的展开式的通项，∴n=8,当时， 二项式系数最大， ∴
设第项系数最大，则有。
系数最大的项为。
17、解：（1）列联表为。
2）提出假设：休闲方式与性别无关，根据列联表中的数据，可以求得。
因为当成立时，所以我们由把握认为休闲方式与性别有关系。
18、解：（1）(2)
19、（ⅰ解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．
ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
ⅲ）解：可能的取值为．由（ⅰ）得，从而．
的分布列为。
的数学期望．
20、解：令n=1,2,并整理得。
以下用数学归纳法证明：
1)当n=1时，由上面解法知结论正确。
2)假设当n=k时结论正确，即：
则当n=k+1时，故当n=k+1时，结论也成立。
根据(1)、(2)知，对一切正整数n,结论都成立。
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