运筹学概论。
结课作业。学院数学与统计学院。
班级 071121
学号 07112012
学生姓名李慧卓
对排队论及其求解方法的认识与理解。
一．排队论的基本知识的理解：
一）排队系统的组成。
一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程。
输入过程指顾客按什么样的规律到达。包括如下三个方面的内容：
1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
2）顾客到达的类型指顾客的到达是单个的还是成批的；
3）顾客相继到达的时间间隔分布即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；
2．排队规则。
排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
2）等待制当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。在等待制中，又可按顾客服务的先后次序的规则分为：先到先服务（fcfs，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（fcls，如仓库存放物品）、随机服务（siro，**交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（pr，如加急信件的处理）。
3．服务机构。
服务机构有以下几个特征参数，服务台数量、服务时间分布、多服务台时服务台是串联还是并联。服务台数量一般分为单台还是多台，顾客在系统中接受服务的时间是个随即变量，通常服从负指数分布或爱尔朗分布。
二）排队系统的分类。
如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。因此只能按主要特征进行分类。一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。
现代常用的分类方法是英国数学家肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号 x/y/z进行分类。
x处填写相继到达间隔时间的分布；
y处填写服务时间分布；
z处填写并列的服务台数目。
各种分布符号有：m-负指数分布；d-确定型； ek-k阶埃尔朗分布；gi-一般相互独立分布；g-一般随机分布等。这里k阶埃尔朗分布是指为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时，服从自由度为 2k的χ2分布。
例如m∕m∕1∕1∕∞∕fcfs表示相继顾客到达时间间隔和服务时间服从负指数分布，单台，容量为1，顾客源无限，先到先服务的排队系统；m∕d∕1∕4∕∞∕fcfs表示相继顾客到达时间间隔服从负指数分布，服务时间为定长，单台，容量为4，顾客源无限，先到先服务的排队系统；当省去后三项时表示x∕y∕z∕∞∕fcfs；
二．排队系统问题的求解方法：
研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率，考核服务质量，以便据此提出改进措施。通常评价排队系统优劣有 6项数量指标。
①系统负荷水平ρ ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度；
②系统空闲概率p0：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；
③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为ls；
④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为lg；
⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为ws；
等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间，其平均值记为wg。m/m/1排队系统是一种最简单的排队系统。
系统的各项指标可由图2中状态转移速度图推算出来（表1）。其他类型的排队系统的各种指标计算公式则复杂得多，可专门列出计算公式图表备查。现已开始应用计算机**来求解排队系统问题。
三．排队论在**问题中的应用：
1）**问题：
办公办公室有三条**线可以打进，也就是说在任意时刻最多能打进接待三通话者来访，打进的**是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布，每次**的持续时间是均值为6分钟的随机变量，经理关心由于占线而可能打不进来的人数。他们当中有人稍后可能重拨**，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的**平均数是７０。
问题的提出：请**这个办公室的**系统并给出如下估计：
1.无**占线，有一条、两条占线和三条占线的时间百分比；
2.没有打进**的人所占的百分比。
3.若办公室再新装一部**，你怎样修改模型？改进这一模型还需要其他什么信息？
2）问题分析：
1.这是一个多服务台混合制模型m/m/s/k，顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布（即顾客的到达过程为poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布，系统的空间为k。
2.在办公室三部**系统的前提下，研究其工作情况，无**占线、有一个、有两个、三个都占线所占的时间百分比，为保证顾客源不致过多的流失，能够接通更多的**，比较研究是否应该新增加一台**。
3) 建立的模型：
假设：顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布，服务时间服从参数的负指数分布，表示在时刻t，服务系统的状态为n（系统中顾客数为n）的概率，平稳状态队长n即系统中的顾客数其期望值，平稳状态排队长，指系统中排队等待服务的顾客数其期望值为，逗留时间指平稳状态顾客在系统中的停留时间，记它的期望值为，等待时间指平稳状态顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作，表示当系统处于n时新来顾客的平均到达率，表示当系统处于n时，整个系统的平均服务率，s是系统中并行服务的台数， s为系统的服务强度。little公式为：
，顾客拨打这三部**是等可能性的。
模型形式：为求平稳分布，考虑系统处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。
但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而达到平衡状态后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
n-1 n
由上述平衡方程，可求得。
n： 记。
n=1，2，…
则平稳状态的分布为：
n=1，2，…
由概率分布的要求。有。于是。
上式只有当分母级数收敛时才有意义，即当时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。
由上面推导知本**系统模型中有：
于是。其中。
由平稳分布，n=0,1,2,…，k,可得平均排队长为：
为求平均队长，由。
得到。由系统的空间的有限性，必须考虑顾客的有效到达率。对多服务台系统有。
再利用little公式为：
平均被占用的服务台数（也就是正在接受服务的顾客的平均数）为：
因此，又有。
4）模型求解：
题中该办公室系统可看成m/m/3/3排队模型，其中。
平均到达率： =0.146人/分钟；
平均服务率： =人/分钟。
服务强度： =0.982
于是可得空闲(无**占线)的概率=0.381=38.1%
有一条占线的概率 =0.9820.381=0.375=37.5%
有两条占线的概率0.184=18.4%
有三条占线率的概率 0.158=0.06=6.0%
系统的顾客损失率为=0.06，即有6%的呼叫不能接通，即没有打进**的人占6%。系统的相对通过能力q=1-=0.
94，即有94%的呼叫可以接通。系统的绝对通过能力a=q=0.1460.
94=0.137，即每分钟可接通0.137次（每小时8.
23次）呼叫。被占用的中继线的平均数为：
0.982×0.94=0.923（条）
通道利用率： =0.308=30.8%
5）结果分析：
工作时间内，接通**的总时间（三部**）为：6×70=420（分钟），由于三部**相互独立，打进的**是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布则知三部**的空闲率直观上看其和为：p= ×3=3/8=0.
375与模拟的结果0.381相差不大。
假设我们增加一台**，保证使每天接到的**数不变，通过原来的模型我们可以得到无占线、一条占线、两条占线、三条占线的概率分别是。
四．对排队论及其解法的认识理解：
所谓排队现象是指顾客特定的或变化不定的速度到来， 按照一定的服务规则接受服务员服务的过程。所谓排队系统， 是指存在着排队现象的系统。排队论研究的另一重要内容是排队系统的最优化间题。
排队系统的最优化可以分为设计最优化和控制最优化两类。设计最优化也称静态最优化， 是指在一定质量指标下。
要求机构最经济， 如翰人结构与服务系统的最优设计、排队规则的最优设计等控制最优化也称动态最优化， 是指对给定系统， 如何经营可使目标涵数达到最优值排队论不仅研究了排队系统的一般特征， 还研究了各种不同的排队系统模型， 给出了求解公式。所谓求解， 就是用数学方式来确定用来判断排队系统运行优劣的以上五种数指标， 从而掌握系统空闲的概率， 排队等待和正在接受服务的顾客数的平均值， 以及顾客排队等待时间的平均值等等。确定这些数量指标的目的， 在于研究排队系统的运行效率， 提高排队系统的服务质， 找出改进的措施。
当然， 排队系统的类型和结构是多种多样的， 有很多情况很难用数学方法来分析、求解， 这就必须借助于电子计算机进行模拟。从上可见， 排队论给合理解决服务系统中的供需矛盾提供了科学的思路和定量的方法。学好排队论， 对于搞好经营管理有着重要的意义。
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