九年级第一学期数学培优训练

九年级第一学期数学培优训练 2012/11/16

1.（本题满分13分）如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝90°，bc＝6，ad＝3，∠dcb＝30°.点e、f同时从b点出发，沿射线bc向右匀速移动。

已知f点移动速度是e点移动速度的2倍，以ef为一边在cb的上方作等边△efg．设e点移动距离为x（x＞0）.

△efg的边长是___用含有x的代数式表示），当x＝2时，点g的位置在___

若△efg与梯形abcd重叠部分面积是y，求。

当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值。

2.（本题满分14分）如图，点p是x轴上一点，以p为圆心的圆分别与x轴、y轴交于a、b、c、d四点，已知a(-3,0)、b(1,0)，过点c作⊙p的切线交x轴于点e.

(1)求直线ce的解析式；

(2)若点f是线段ce上一动点，点f的横坐标为m，问m在什么范围时，直线fb与⊙p相交？

(3)若直线fb与⊙p的另一个交点为n，当点n是的中点时，求点f的坐标；

(4)在(3)的条件下，cn交x轴于点m，求cm·cn的值。

3.（本题满分10分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c

ⅰ）若a＝2，c＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），求b的值。

ⅱ）若a＝2，b＋c＝－2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，－2），求证：b≥0；

ⅲ）若a＋b＋c＝0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，－a），试问自变量 x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论。

4.（本题满分10分）已知a为⊙o上一点，b为⊙a与oa的交点，⊙a与⊙o的半径分别为r、r，且r＜r.

ⅰ）如图，过点b作⊙a的切线与⊙o交于m、n两点。

求证：am·an＝2rr；

ⅱ）如图，若⊙a与⊙o的交点为e、f，c是弧ebf上任意一点，过点c作⊙a的切线与⊙o交于p、q两点，试问ap·aq＝2rr是否成立，并证明你的结论。

5. (本题满分10分)已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1.

ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在**中：

ⅱ）观察第（ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；

ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由。

6.（本题满分10分）已知，如图，直角坐标系内的矩形abcd，顶点a的坐标为（0，3），bc＝2ab，p为ad边上一动点（与点a、d不重合），以点p为圆心作⊙p与对角线ac相切于点f，过p、f作直线l，交bc边于点e ，当点p运动到点p1位置时，直线l恰好经过点b，此时直线的解析式是y＝2x＋1

求bc、ap1的长；

设ap＝m，梯形pecd的面积为s，求s与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

以点e为圆心作⊙e与x轴相切。

**并猜想：⊙p和⊙e有哪几种位置关系，并求出ap相应的取值范围；

当直线l把矩形abcd分成两部分的面积之比值为3∶5时，则⊙p和⊙e的位置关系如何？并说明理由。

九年级第一学期数学培优训练 2012/11/16

参***：1. （满分13分）解：⑴ x，d点；……3分。

①当0＜x≤2时，△efg在梯形abcd内部，所以y＝x2；……6分。

分两种情况：

.当2＜x＜3时，如图1，点e、点f**段bc上，efg与梯形abcd重叠部分为四边形efnm，∠fnc＝∠fcn＝30°,∴fn＝fc＝6－2x.∴gn＝3x－6.

由于在rt△nmg中，∠g＝60°，所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.…9分。

.当3≤x≤6时，如图2，点e**段bc上，点f在射线ch上，efg与梯形abcd重叠部分为△ecp，ec＝6－x,y＝（6－x）2＝.…11分。

当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，x＝2时，y最大＝；

当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；

当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，x＝3时，y最大＝.…12分。

综上所述：当x＝时，y最大＝.…13分。

2. 解：(1)连pc.

∵a(-3,0)，b(1,0)，∴p的直径是4，∴半径r=2，op=1.

又∵cd⊥ab，ab是直径。

∴oc2=oa·ob=3×1=3.∴oc=.

∴c(0,).1分。

又∵⊙p的半径是2，op=1.

∴∠pco=30°.又ce是⊙p的切线，∴pc⊥ce.∴∠pec=30°.

∴pe=2pc=

∴e(3,0). 2分。

设直线ce的解析式为y=kx+b，将c、e两点坐标代入解析式，得解得。

∴直线ce的解析式为y=-x+①.4分。

(2)当0≤m≤3且m≠1时，直线fb与⊙p相交。 …6分。

(3)解法一：∵点n是的中点，∴n(-1,-2)

设直线nb的解析式为y=kx+b，把n、b两点坐标代入解析式，得解得。

直线nb的解析式为y=x-1 ②

由①，②式得解得。

∴f(,-1). 10分。

解法二：过点f作fh⊥be于h，∵n是的中点，则∠abn=∠fbe=45°. bfh=45°.∴bh=fh.

由(1)知∠cep=30°，∴he=fh.

∵oe=ob+bh+he，∴1+fh+fh=3，fh=-1.

∴oh=ob+bh=1+(-1)=.

∴f(,-1).

(4)连结ac、bc. ∵点n是的中点，∴∠ncb=∠can.又∠cab=∠cnb, ∴amc∽△nbc.

∴.∴mc·nc=bc·ac.

∵oa=oe=3, ∴ace为等腰三角形。

∴ac=ce=.bc=.

∴mc·nc=bc·ac=4. …14分。

4．(1)如图，在⊙o中，延长ao与⊙o交于点d，连结dm

∵ad为⊙o的直径，∴∠amd=90°．∴ab为⊙a的半径，mn为⊙a的切线，b为切点，a b⊥mn，有∠abm=90°．

在rt△abm与rt△amd中，∠bam=∠dam，∴rt△abm∽rt△amd，am2=ab·a d．

由垂径定理，得am=an．又ab=r．ad=2r∴am·an=2rr；

2)如图，a p·aq=2rr成立．

延长ao与⊙o交于点d，连结dq、ac∴pq为⊙a的切线，c为切点，∠acp=90°．由ad为⊙o的直径，得∠aqd=90°．又∠adq=∠apc，rt△adq∽rt△apc，ap·aq=ad·ac∴ad=2r，ac=r。∴ap·aq=2rr．

5．(1)填表如下：

2)证明 yl-y2=-(x-1)2≤o，当自变量x取任意实数时，y1≤y2均成立；

3)解由已知，二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5，2)，得25a-5b+c=2．①

当x=l时，y1=y2=2，y3=a+b+c，若对于自变量x取任意实数时，yl≤y3≤y2成立，则有2≤a+b+c≤2，∴a+b+c=2．②

由①②，得b=4a，c=2-5a，∴y3=ax2+4ax+(2-5a)．

当y1≤y3时，有2x≤ax2+4ax+(2-5a)，即ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0，若二次函数y=ax2+(4n-2)x+(2-5a)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须a>0 {4a-2)2-4a(2-5a)≤0．即a>0 ,(3a-1)2≤0．a=1/3．当y3≤y2时，有ax2+4ax+(2-5a)≤x2+1，即(1-a)x2-4ax+(5a-1)≥o，若二次函数y=(1-a)x2-4ax+(5a-1)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须1-a>0 (1-4a)2-4(1-a)(5a-1)≤0．即a<1,a=1/3．综上，a=1/3，b=4a=4/3 ，c=2-5a=1/3

存在二次函数y3=x2/3+4x/3+1/3，在实数范围内，对于x的同一个值，y1≤y3≤y2均成立。

6. ⑴bc=4 ap1=1

s=9-2m 1≤m<4

①当1≤m<5时，两圆外离；当m=5时，两圆外切；当5②外离或相交。

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