例1. (2010彬州市）如图（1），抛物线与y轴交于点a，e（0，b）为y轴上一动点，过点e的直线与抛物线交于点b、c.
1）求点a的坐标；
2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
3）是否存在这样的b，使得是以bc为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由。
例2、(常德）如图9，已知抛物线轴交于点a（-4，0）和b（1，0）两点，与y轴交于c点。
1)求此抛物线的解析式；
2)设e是线段ab上的动点，作ef∥ac交bc于f，连接ce，当的面积是面积的2倍时，求e点的坐标；
若p为抛物线上a、c两点间的一个动点，过p作y轴的平行线，交ac于q，当p点运动到什么位置时，线段pq的值最大，并求此时p点的坐标。
例3、（长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．
1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．
例4、(长春）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△aob的斜边ob在x轴上，顶点a的坐标为(3，3)，ad为斜边上的高．抛物线y＝ax2＋2x与直线y＝x交于点o、c，点c的横坐标为6．点p在x轴的正半轴上，过点p作pe∥y轴，交射线oa于点e．设点p的横坐标为m，以a、b、d、e为顶点的四边形的面积为s．
1)求oa所在直线的解析式．
2)求a的值．
3)当m≠3时，求s与m的函数关系式．
4)如图②，设直线pe交射线oc于点r，交抛物线于点q．以rq为一边，在rq的右侧作矩形rqmn，其中rn＝．直接写出矩形rqmn与△aob重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
例5、（滨州市）如图，四边形abcd是菱形，点d的坐标是（0，），以点c为顶点的抛物线恰好经过轴上a、b两点．
1）求a、b、c三点的坐标；
2）求过a、b、c三点的抛物线的解析式；
3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过d点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？
例6、(毕节地区）（16分）如图在平面平面直角系中，抛物线的图象与轴交于点a（2，0）、b（4，0），与轴交于点c（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与轴交于点d，点p是直线l上一动点。
1）求此抛物线的表达式。
2）当ac + cp的值最小时，求点p的坐标；再以点a为圆心，ap的长为半径作⊙a。求证：bp与⊙a相切。
3）点p在直线l上运动时，是否存在等腰△acp？若存在，请写出所有符合条件的点p坐标；若不存在，请说明理由。
例7、(本溪市）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，．
1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；
2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；
3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4）若（2）中的抛物线与轴相交于点，点**段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式．
例8、（包头）（本小题满分12分）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
1）求二次函数的解析式；
2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
例9、（芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形abco，其顶点为a（0，1）、b（－3，1）、c（－3，0）、o（0，0）．将此矩形沿着过e（－，1）、f（－，0）的直线ef向右下方翻折，b、c的对应点分别为b′、c′．
1）求折痕所在直线ef的解析式；
2）一抛物线经过b、e、b′三点，求此二次函数解析式；
3）能否在直线ef上求一点p，使得△pbc周长最小？如能，求出点p的坐标；若不能，说明理由．
解：例10、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
1）求直线及抛物线的函数表达式；
2）如果p是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点p的坐标；
3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并**：若设⊙q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙q与两坐轴同时相切？
例11、(恩施）(12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，-3）点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点。
1）求这个二次函数的表达式．
2）连结po、pc，并把△poc沿co翻折，得到四边形popc， 那么是否存在点p，使四边形popc为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
3）当点p运动到什么位置时，四边形 abpc的面积最大并求出此时p点的坐标和四边形abpc的最大面积。
例12、（晋江）（13分）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到。
1)试直接写出点的坐标；
2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结。
若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；
试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大。
九年级数学二次函数 16 二次函数复习
第周星期班别姓名学号 一 填空。1 若二次函数y m 1 x2 m2 2m 3的图象经过原点，则m 2 函数y 3x2与直线y kx 3的交点为 2，b 则k b 3 抛物线y x 1 2 2可以由抛物线y x2向 方向平移 个单位，再向 方向平移 个单位得到。4 把y x2 x 化为y a x h...
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九年级数学二次函数
二次函数。一 知识概述 看初中数学总复习52页，填空 轻巧46页。二 例题讲解 一 根据函数性质判定函数图象之间的位置关系。例1.已知 函数y a0 的图像所示，试判断 a 0,b 0,c 0,0,二 比较大小。例2.已知点a 5,b 2，c 3，都是二次函数图像上的点，则。三 抛物线与x轴 y轴的...