七年级培优：数轴上的动点。
一、基础知识点：
1、路程（s）、速度（v）和时间（t）的基本关系：
s=vt （路程=速度×时间）
v=s/t （速度=路程÷时间）
t=s/v （时间=路程÷速度）
相遇公式：a、b二人相距s，如果a、b二人相向而行，a的速度为va，b的速度为vb，经过时间t后相遇，那么t=s/（va+vb）
追及公式：a、b二人相距s，如果a、b二人同向而行（a在b的前面），a的速度为va，b的速度为vb，且va＜vb，经过时间t后b追上a，那么t=s/（vb-va）
2、数轴上的公式：
设点a在数轴上表示的数为a，点b在数轴上表示的数为b，ab的中点为m。则：
1、距离公式：ab=｜a-b｜；
2、中点公式：点m表示的数为：（a+b)/2；
3、移动公式：当点a向右移动m个单位，则a表示的数为：a+m；
当a向左移动m个单位，则a表示的数为a-m.
二、动点问题解题步骤：
1、读懂题意，分清楚动点在不同的时间段处于怎样的状态（时间段、速度）；
2、设未知数，列出等式（列方程）；
3、解方程；
4、检验：将求解结果与题意对照，把不符合题意的结果舍去，留下正确的答案。
例1】如图1，点a表示的数为-2，点b表示的数为3，点a向右匀速运动，当运动时间为5秒时达到点b，那么a的运动速度为多少（单位/秒）？
提示】ab=｜3-（-2）｜；v=s/t。
例2】如图2，点a表示的数为-2，点b表示的数为3，点a向右匀速运动，运动速度为2个单位/秒；点b向左匀速运动，速度为1个单位/秒，a、b同时出发，当a、b的距离为1个单位时，时间为多少秒？
解析】设ab=1时，时间为t秒。则：t秒后：
a表示的数为：-2+2t，b表示的数为：3-t，根据距离公式：ab=｜（2+2t）-（3-t）｜=1，化简得：｜3t-5｜=1，3t-5=±1，3t=5±1，t=2，或4/3
注】此题亦可用讨论法来解决：（1）当a在b左边时；（2）当a在b右边时。不过解题过程显得较为繁杂，不如用距离公式来得简单，根据结果：
当t=4/3时，a在b左边；当t=2时，a在b的右边。
例3】如图3，点a表示的数为-4，点b在点a的右边，ab中点m表示的数为0.5，点p从a点向右匀速运动，运动速度为1个单位/秒；pa的中点为n，设点p的运动时间为t秒。
1）求点b表示的数；
2）求点n表示的数（用t的代数式表示）；
3）当mn=1.5时t为多少秒？
提示】（1）用中点公式可得到点b表示的数；（2）用动点公式得到p表示的数，再用中点公式得到n表示的数；（3）用距离公式得到mn含t的代数式（含绝对值），利用mn=1.5列出含绝对值的方程。
例4】如图，△abc为等边三角形，边长为3。动点p沿路径：a→b→c运动，速度为1个单位/秒；动点q沿路径：
c→a→b运动，速度为1.5个单位/秒。点m为aq的中点，点n为bp的中点，p、q同时开始运动，当其中一点到终点时，另一点也停止运动。
设运动时间为t秒。
1）求点p、q的运动时间；
2）用t表示am和nb的长度。
3）求am与bn的数量关系。（｜6nb±4am｜=3）
解析】假如△abc是用绳子围成的三角形，现在用剪刀在点c处将绳子剪断，再将绳子拉成一条直线，则点c变成两个点：c1和c2：c1a在ab的左边，c2b在ab的右边，以点a为原点，射线ab为正方向，建立数轴，则点a表示的数为0，c1为-3，b为3，c2为6（如图4）。
1）点p的运动时间为6÷1=6（秒），点q的运动时间为6÷1.5=4（秒），因为当其中一点到终点时，另一点也停止运动，所以p、q的运动时间为4秒；
2）q表示的数：-3+1.5t，p表示的数：
t，点m表示的数：（-3+1.5t）/2，点n表示的数：
（3+t）/2，am=｜（3+1.5t）/2｜=(3/4)｜t-2｜；bn=｜3-（3+t）/2｜=(1/2)｜t-3｜;
3)（a）当0＜t≤2时，am=(3/4)（2-t），或4am=6-3t………
bn=(1/2)（3-t），或2nb=3-t………
3×②-6bn-4am=3；
b)当2＜t≤3时，am=(3/4)（t-2），或4am=3t-6………
2bn=3-t………
3×②+6bn+4am=3；
c)当3＜t≤4时，am=(3/4)（2-t），或4am=3t-6………
2bn=t-3………
-3×②：4am-6bn=3。
综上所述，am与bn的数量关系为：｜6nb±4am｜=3。
注】此题亦可用讨论法来解决。
附：数轴上的动点练习题：
练习1】如图e1，点a表示的数为-10，点b表示的数为12，点a向右匀速运动，运动速度为3个单位/秒，当点a达到点b时运动时间为多少秒？
练习2】如图e2，点a在数轴上某处从左向右运动，速度为10个单位/秒，点b表示的数为1，10秒后a、b的距离为2，那么原来点a表示的数为多少？
练习3】如图，点a从一定出发沿数轴向左运动，同时，点b也从原点出发向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度。已知点b的速度是点a的4倍（速度单位：单位长度/秒）。
1）求出点a、点b的运动速度，并在数轴上标出a、b两点从原点出发运动3秒时的位置；
2）若a、b两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点a、点b的正中间？
3）若a、b两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点c同时从b点位置出发向点a运动，当遇到点a后，立即返回向b点运动，遇到b点后又立即返回向a点运动，如此往返，直到b点追上a点时，c点立即停止运动。若点c的运动速度为20单位长度/秒，那么点c从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
练习4】如图，点b表示的数为4，点a在点b的左边，ab中点m表示的数为-1，点p从a点向右匀速运动，运动速度为1个单位/秒；pa的中点为n，设点p的运动时间为t秒。
1）求点a表示的数；
2）求点n表示的数（用t的代数式表示）；
3）当mn=2时t为多少秒？
练习5】如图，已知在数轴上有a、b两点，点a表示的数为8，点b在点a的左边，且ab=12。若有一动点p从数轴上点a出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点q从点b出发以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动。设点p的运动时间为t秒。
1）当t=1时，写出数轴上点b，p所表示的数；
2）若点p，q分别从a、b两点同时出发，问点p运动多少秒与点q相距3个单位长度？
3）若点m为aq的中点，点n为bp的中点，当点p在a、b两点之间运动时，求线段mn与线段pq的数量关系。
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