九年级基于专题研究的教学设计说明。
宜昌市第九中学数学组。
24.1.2《垂直于弦的直径》
大家好！我是来自宜昌市九中的张文姬老师。我们集体备课的内容是第二十四章1.
2垂直于弦的直径，1.3弧、弦、圆心角，1.4圆周角。
现在，我先说1.2垂直于弦的直径这一课时的例题教学。
在讲解完垂径定理及一个推论之后出示课本82页的例2。考虑到本节课的重点和难点是垂径定理及其应用，我对例题的数据做了如下改变，将弦长37m改成40m,拱高7.23m改成10m，这样就避免了繁杂的计算，让学生把重点放到如何应用垂径定理上。
对于此题，我采取的是设问铺垫、层层递进的变式教学方法（投影）。第一个问题设置的目的在于让学生学会从实际问题中抽象出几何模型，体现数学建模的思想。第二个问题设置的目的在于让学生学会分析已知和未知量，并标注在图上，体现数形结合的思想。
第三个问题设置的目的在于让学生思考如何用垂径定理和勾股定理求出拱桥的半径。关于本题的教学将由五个教学活动组成。活动一：
学生独立思考，尝试作图；活动二：分小组交流所画的几何图形，讨论出已知量和未知量；活动三：小组代表上台画几何图形，并讲解解题思路；活动四：
教师评价并示范规范的解答过程；活动五：引导学生归纳反思解题思路，并强调垂径定理的几何证明格式。
完成本题教学后，我在例题的图形基础上进行了以下变式。
变1：将已知条件设置为圆的直径和弦长，计算弓形的高。有的学生会仿照例题，设弓形高为x，然后列方程求解。
事实上，此题可以利用垂径定理和勾股定理直接列出算式计算出de的长度。此处可引导学生比较两种解法，反思解法的简便性。
变2：将已知条件设置为圆的弦心距和半径，求过p点的最短弦的长度。
学生仿照例1，很容易求出弦ab的长度。老师进一步追问为什么弦ab就是最短弦。引导学生过点p再任意做一条弦cd。
学生需要综合应用垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边大于直角边才能证出弦ab最短。此处在变式之后进一步追问将学生的思维引向更深处，同时为后面的变式做铺垫。
变3：在例1的图中，增加一条弦cd，使cd∥ab，求两弦之间的距离。此题需要分类讨论弦ab,弦cd在圆心o的同侧还是异侧，两次利用垂径定理，勾股定理，计算出结果。
这里的三个变式体现了变式教学中多题一解，难度递进的策略。
变4：在例1的图中过圆心o再画一个小圆，大圆的弦ab交小圆于c,d.探索ac,bd之间的数量关系。两次应用垂径定理即可证出ac=bd。
变5：在变4的基础上，把大圆去掉，只留下小圆。设ao=bo.继续求证ac=bd.学生应用等腰三角形“三线合一”和垂径定理可以证出ac=bd
变6：在变4的基础上，把小圆去掉，已知oc=od,求证ac=bd。还是可以应用等腰三角形“三线合一”和垂径定理证出ac=bd
从变四到变六是在同一个问题背景下，通过改变几何图形，让图形动起来，从而培养学生的思维灵活性，通过这些变式将垂径定理的应用从1次运用变成2次运用，从计算长度变成证明线段相等，从知识的单一应用变成和其他知识结合起来的综合应用，运用的范围扩大，难度增加，有利于培养学生思维的深度和广度。
在解题之后，教师又及时引导学生进行归纳反思，将弦，弦心距，弓形高，圆半径的长度抽象为字母形式，归纳出两个公式、四个结论，让学生的思维得到进一步的提升。（投影）
24.1.3《弧、弦、圆心角》
接着，我来说1.3弧、弦、圆心角。
在推导出教材p84的三个定理之后，出示例3，对这个例题的教学设计了如下活动。活动1：学生独立思考。
活动2：教师铺垫设问，引导学生分析解题思路，此处教师设计了这样三个问题（投影），活动3：师生共同书写解答过程，教师规范书写格式。
这里的变式教学体现在教学过程的变式上。
完成教材的例题教学后，教师增设了3个小问题。
增设问题①和②是为第③问的计算做铺垫，而第③问是为发现“圆心到等弦的距离相等”这一结论作铺垫。三个距离求完后，学生很容易发现这三个距离相等。在此给出“弦心距”的概念，再引导学生用语言文字归纳这个发现：
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距相等。如果学生叙述有困难，可引导学生仿照前面**过的弧、弦、圆心角关系定理进行仿写。得出结论后，为了**问题的完整性，教师又进一步追问：
此时的三条弦比较特殊，是等边三角形的三条边。若两条等弦的位置没有这么特殊，而是任意位置，这个结论还成立吗？于是教师增加了例题2，此题来自教材p85的练习第1题的第（4）小题，（投影）目的是为了将学生的思维从特殊引导到一般，从而**出结论——“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距相等”。
学生通过思考证明发现这个结论依然成立，从而明确这个结论是正确的。
结合教材中对弧、弦、圆心角关系定理的**以及拓展**，引导学生将定理进行拓展，归纳出：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量对应相等，则它们所对应的其余各组量都相等。（投影）
例题讲完后，引导学生归纳解题方法：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距关系定理为证明圆心角、弧、弦、弦心距相等提供了新思路，利用弧、弦、圆心角、弦心距关系定理可以把弧、弦、圆心角、弦心距进行互相转化。
本节课对例题教学的变式体现在两个方面：一是教学过程的变式，通过层层设问来推动学生的例题学习；二是对例题进行了变式拓展，在原有的基础上增设了3个问题，体现了从特殊到一般的数学思想，从而对弧、弦、圆心角关系定理进行拓展，使学生对弧、弦、圆心角、弦心距关系有了更深刻的认识。
24.1.4《圆周角》
最后，我说说1.4圆周角。通过前面教学中的观察与思考环节，（边投影边说）学生掌握了圆周角的概念，并通过小组活动猜想并验证了圆周角定理：
同一段弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，并根据同一段弧所对的圆周角有无数多个和圆周角定理，得到同弧或等弧所对的圆周角都相等的推论，接下来为了加深学生对圆周角定理及其推论的理解，教师没有急于按课本的编排顺序去学习圆周角的其他相关知识，而是进入到第一个例题教学环节，此题是教师自编的题目。如图，圆的两条任意半径oa、ob和圆上一个动点c（不与a,b重合），其中∠aob=70°.
问题一：当点c在优弧ab上运动时，求圆周角∠acb的度数。
此题设置让学生进一步理解了，只有同一段弧所对的圆周角和圆心角之间才有对应的数量关系，.同时教师让点c在优弧ab上运动，并让学生观察，此时所形成的圆周角都是相等的，即为圆心角∠aob度数的一半，巩固了同弧所对的圆周角相等这一推论。
问题二：当c继续在圆上其他位置运动时，圆周角∠acb的度数是否发生变化？
此题的设置是通过图形的动态演示，让学生发现点c运动在优弧和劣弧上时，圆周角的度数发生了变化，再思考如何计算点c运动到劣弧ab上时形成的圆周角∠ac′b的度数，在解题中让学生进一步理解圆周角定理成立的前提条件。这个问题在难度上较问题一来说有所提升，有助于学生加深对于圆周角定理中难点的理解，并再一次体会圆周角定理的第一个推论的运用。
以上两个问题的设置让学生观察到c在整个圆上运动时所产生的圆周角，即可以分为c分别在优弧ab上和劣弧a b上运动时这两种情况，因此在另一个方面也增强了学生分类讨论的意识，与本节课在圆周角定理的猜想与验证过程中所渗透的数学思想遥相呼应。
问题三：计算点c在圆上运动时所产生的两种圆周角的度数和。当∠aob=n°时，这两种圆周角的度数和又是多少？
这个问题的前一问很简单，学生很容易根据前面两问的结果得到180°的结论，但这题设置的真正意图是让学生先通过圆心角∠aob的度数为具体数值时，得到∠acb+∠ac′b=180°的结论，然后进一步去猜想圆心角∠aob的度数为n时，这两种圆周角∠acb与∠ac′b的和仍为180°，并通过推理验证这个猜想是正确的。整个过程让学生再一次经历了从具体到抽象，从特殊到一般的数学**过程，并让学生在此过程中，增强了用字母表示数的符号意识。
这三个问题的设置是一种难度递进的变式教学，引导学生学会分析问题，突破难点，并在应用过程中丰富了他们解决数学问题的方法，帮助他们树立了迎接挑战的信心。
在例1之后进行变式拓展，变式一是对例1的第二问的图形作了变动，延长了ac′，并给出圆周角∠ac′b的补角∠b c′d的度数，去求圆心角∠aob的度数。此题有两种基本解法：方法一是运用周角定义和圆周角定理，方法二是利用了之前**问题中∠acb与∠ac′b互补的结论和圆周角定理，整个过程体现出了问题解决的多样性，特别是其中蕴含了补角、周角定义、圆周角定理，培养学生多样化思维，同时也让学生明白了基本知识的掌握是灵活解决问题的关键所在。
接下来出示变式二，设置第一问是引导学生在解题之后归纳得到结论：90°的圆周角所对的圆心角为180°，在此基础上自然过渡到圆周角定理的第二个推论的学习。设置第二问和第三问是为了巩固应用推论二。
通过变式二，让学生在熟练运用圆周角定理的过程中，在问题**的过程中自然而然地得到圆周角定理的第二个推论，此题实际上是对课本87页例4的改编，目的在于进行铺垫式的变式**，让学生在应用圆周角定理的过程中很轻松地再次获取新知，提高了学生自主探索的能力，激发了同学们学习数学的欲望，增强了他们学习的自信心。
为了让学生能将前面已学过的圆的有关性质融会贯通，思维上有所提升，进行本节小结后，我出示了一道拓展题，（投影）这道题也是在例题背景下的一个变式，题目的设置体现出了垂径定理，弧、圆周角、圆心角、弦的关系定理，圆周角定理及其推论的综合运用，是对学生综合能力的考察，解题之后可以引导学生总结出一个基本图形。
本节课除了圆周角定理及其推论的学习外，还涉及到圆的内接多边形的性质学习，这个性质实际上也是圆周角定理的一个应用，由于课堂的容量很大，在实际教学中，建议教师对教材的内容做一些相应的处理和调整，将整个内容分为2到3个课时完成。这节课的设计重点在于圆周角定理的猜想、验证和简单的应用，对于例题的变式二可以安排在下个课时，与圆的内接四边形一同**，对于下节课的学习， 可以仍然借助于例题中的几何背景，实际上也是例题中问题三的延申。这样的处理方式使得整个圆周角内容的学习虽然被分为了两个课时，但相同的几何背景给整个学习呈现出了整体性和完整性。
以上是我校集体备课对本节例题处理的思考，在此与大家学习交流，不足之处，希望批评指正。谢谢大家！
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