九年级数学竞赛试卷
时量：120分钟满分：100分。
1、选择题（本大题8小题，每小题3分，共计24分）
1. 不等式组的整数解有（ ）
a. 5个 b. 6个 c. 7个 d. 8个。
2. 二次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是( )
a. b. c. d.
3. 如图，将边长为的正方形abcd沿对角线ac平移，使点a移至线段ac的中点a′处，得到新正方形a′b′c′d′，则新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )
abc. 1 d.
4. 如图，d为等边三角形abc的边ac上一点，且bd＝ce，∠1＝∠2，那么△ade是（ ）
a. 等边三角形 b. 钝角三角形 c. 直角三角形 d.不等边三角形。
5. 菱形oabc在平面直角坐标系中的位置如图所示，若oa＝2，∠aoc＝45°，则b点的坐标为（ ）
a. b. c. d.
6. 如图，铁路mn与公路pq在点o处交汇，∠qon＝30°，公路pq上a处距离o点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响。那么火车在铁路mn上沿on方向以72千米/时的速度行驶时，a处受噪音影响的时间为（ ）
a. 12秒b. 16秒c.20秒 d. 24秒。
7. 下列说法正确的是（ ）
a. 事件“如果a是实数， 那么|a| <0”是必然事件。
b. 在一次**活动中“中奖的概率是”表示**100次就一定会中奖。
c. 在一副52张扑克牌（没有大小王）中任意抽一张，抽到的牌有数字6的概率是。
d. 随机抛一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上。
8. 如图，填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）
a. 38 b. 52 c. 66 d. 74
2、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）
9. 关于的一元二次方程的解是（,均为常数），则。
10. 方程的解是。
11. 如图，直径为6的半圆，绕点a逆时针旋转60°，此时点b到了点b′，则图中阴影部分的面积为。
12. 已知等腰三角形的底边长和腰长分别是方程的两根，则此等腰三角形的周长是。
13. 如图，在四边形abcd中，dc∥ab，cb⊥ab，ab＝ad，cd＝ab，点e，f分别为ab，ad的中点，则△aef与多边形bcdfe的面积比为。
14. 已知多项式是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为。
15. 已知在△abc中，若∠a，∠b满足，则∠c
16. 如图，在梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac、bd相交于点o，若ad＝2，bc＝5，则的值为。
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
17. 已知，都是正整数，且有。
；，1）证明2）若，求和的值。
18.关于的一元二次方程的实数根是和。
1）求的取值范围。
2）如果有，且为整数，求的值。
四、应用题（本题满分8分）
19. 为了让山更美，水更清，某市全力创建“国家森林城市”，2023年市委、市**提出了确保到2023年底实现全市森林覆盖率达到35%的目标。（1）已知截止到2023年底该市森林覆盖率只有20%，要实现这个目标，从2023年起该市森林覆盖率的平均增长率应达到多少？
（2）如果照此速度增长，到2023年底该市森林覆盖率能否超过55%？请说明理由。（参考数据：
）五、证明题（本题满分10分）
20. 已知如图，在 abcd中，点e，f分别是边ab，cd的中点，db是对角线，ag∥bd交cb的延长线于点g.
1）求证：△ade≌△cbf.
2）若四边形bedf是菱形，则四边形agbd是什么特殊的四边形？ 并证明你的结论。
6、综合题（第21题10分，第22题12分，共22分）
21. “三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”，下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法。 如图所示：
将给定的锐角∠aob置于直角坐标系中，边ob在轴上，边oa与函数的图象交于点p，以p为圆心，以2·po长为半径作弧交图象于点r. 分别过点p和r作轴和轴的平行线，两直线相交于点m. 连结om得∠mob，则∠mob＝∠aob.
请您回答下列问题：
1）设p，r，求直线om对应的函数表达式。（用含，的代数式表示）；
2）分别过点p和r作轴与轴的平行线，两直线相交于点q，请说明q点在直线om上，并据此证明∠mob＝∠aob.
3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）.
22. 如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，半径长为1的圆a与边ab相交于点d，与边 ac相交于点e，连结de并延长，与线段bc的延长线交于点p.
1）如图①，当∠b＝30°时，连结ap，若△aep与△bdp相似，求ce的长；
2）如图②，若ce＝2,bd＝bc，求∠bpd的正切值；
3）如图③，若tan∠bpd＝，设ce＝，△abc的周长为，求关于的函数解析式。
九年级数学参***。
1、选择题。
1. c 2. c 3. b 4. a 5. d 6. b 7. c 8. d
2、填空题。
1314. 或 15. 7516.
17. （1）证明：
同理可证3分）
2）解：由于，则。则。5分）
∵，为正整数。
∴必须是的因数。
而只有3个因数，分别为1，13，当时，（不合题意，舍去）
当时， （不合题意，舍去）
当时，，则6分）
18. 解：（1）∵ 方程有实数根。
△解得。的取值范围是3分)
2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得。
又。解得5分)
又由 (1) 知。
而为整数，则的值为-1或06分)
19. 解： (1) 设从2023年起该市森林覆盖率的平均增长率为，依题意得：
(4分)解得：, 不合题意， 舍去) (5分答： 略。
2) 由（1）知6分)
答： 略 (8分)
20. 证明 (1) 在 abcd中， ad=cb, ∠dab=∠c, ab=cd
又点e, f分别是边ab, cd的中点。
ade≌△cbf(sas4分)
2) 答： 四边形agbd是矩形。 理由如下：
ad∥bc, ag∥bd
四边形agbd为平行四边形5分)
又∵ 四边形bedf为菱形。
de=be=ab
eda=∠ead, ∠ebd=∠edb7分)
又 ∠bda+∠eda+∠ebd+∠edb=180°
adb=∠eda+∠edb=909分)
四边形agbd是矩形10分)
21. 解(1) 设直线om的函数解析式为。
pm∥轴，rm∥轴且p, r.
点m的坐标为2分)
于是3分)∴ 直线om的函数解析式为4分)
2) ∵点q的坐标为， 满足。
∴ 点q在直线om上5分)
又 ∵ 四边形pqrm为矩形， 则sp=sq=sr=sm=pr
∴ ∠sqr=∠srq6分)
而pr=2·po, 则ps=op=pr ∴ pos=∠pso.
又∠psq是△sqr的一个外角， 则∠psq=2∠sqr
∠pos=2∠sqr7分)
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