例题求解】例1】如图，直线ab和ac与⊙o分别相切于b、c，p为圆上一点，p到ab、ac的距离分别为4cm、6cm，那么p到bc的距离为。
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连df，ef，寻找pd、pe、pf之间的关系，证明△pdf∽△pfe，而发现p、d、b、f与p、e、c、f分别共圆，突破角是解题的关键．
注：圆具有丰富的性质：
1)圆的对称性；
2)等圆或同圆中不同名称量的转化；
3)与圆相关的角；
4)圆中比例线段．
适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．
例2】 如图，若pa=pb，∠apb=2∠acb，ac与pb交于点p，且pb=4，pd=3，则ad·dc等于( )
a．6 b．7 c．12 d．16
ti”杯全国初中数学竞赛题)
思路点拨作出以p点为圆心、pa长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．
注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．
例3】 如图，在△abc中，ab=ac，任意延长ca到p，再延长ab到q，使ap=bq，求证：△abc的外心o与a，p，q四点共圆．
思路点拨先作出△abc的外心o，连po、oq，将问题转化为证明角相等．
例4】 如图，p是⊙o外一点，pa切⊙o于a，pbc是⊙o的割线，ad⊥po于d．求证：．
思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△pbd与△pcd相似证明．pa2=pd·po=pb·pc，b、c、o、d共圆，这样连ob，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．
注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．
例5】如图，在△abc中，高be、cf相交于h，且∠bhc=135°，g为△abc内的一点，且gb=gc，∠bgc＝3∠a，连结hg，求证：hg平分∠bhf．
思路点拨经计算可得∠a=45°，△abe，△bfh皆为等腰直角三角形，只需证∠ghb=∠ghf=22.5°．
由∠bgc=3∠a=135°=∠ghc，得b、g、h、c四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．
注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．
学力训练。1．如图，正方形abcd的中心为o，面积为1989cm2，p为正方形内一点，且∠opb=45°，pa：pb=5：14，则pb的长为。
(北京市竞赛题)
2．如图，在△abc中，ab=ac=2，bc边上有100个不同的点pl、p2，…p100，记（i=1，2，…100），则。
3．设△abc三边上的高分别为ad、be、cf，且其垂心h不与任一顶点重合，则由点a、b、c、d、e、f、h中某四点可以确定的圆共有( )
a．3个 b．4个 c．5个 d．6个。
(2023年太原市竞赛题)
4．如图，已知oa=ob=oc，且∠aob=∠boc，则∠acb是∠bac的( )
a．倍 b．是倍 c． d．
5．如图，在等腰梯形abcd中，ab∥cd，ab=998，cd=1001，ad=1999，点p**段ad上，满足条件的∠bpc=90°的点p的个数为( )
a．0 b．1 c．2 1 d．不小于3的整数。
(全国初中数学联赛题)
6．如图，ad、be是锐角三角形的两条高，s△abc= 18，s△dec=2，则cosc等于( )
a．3 b． cd．
7．如图；已知h是△abc三条高的交点，连结df，de，ef，求证：h是△def的内心．
8．如图，已知△abc中，ah是高，at是角平分线，且td⊥ab，te⊥ac．
求证：(1)∠ahd=∠ahe；(2陕西省竞赛题)
9．如图，已知在凸四边形abcde中，∠bae=3，bc=cd=de，且∠bcd=∠cde=．求证：∠bac=∠cad=∠dak，(全国初中数学联赛题)
10．如图，p是⊙o外一点，pa和pb是⊙o的切线，a，b为切点，p o与ab交于点m，过m任作⊙o的弦cd．求证：∠cpo=∠dpo．
11．如图，已知点p是⊙o外一点，ps、pt是⊙o的两条切线，过点p作⊙o的割线pab，交⊙o a、b两点，与st交于点c．求证：
(国家理科实验班招生试题)
参***。
九年级数学同步培优竞赛详附答案23第二十三讲圆与圆
例题求解 例1 如图，ol与半径为4的 o2内切于点a，ol经过圆心o2，作 o2的直径bc交 ol于点d，ef为过点a的公切线，若o2d 那么 baf 度 重庆市中考题 思路点拨直径 公切线 o2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连o2ol必过a点，先求出 d o2a的度数 注 1 两圆相切或相交时...
九年级数学竞赛试题附答案
姓名班级 时间 120分钟满分 120分 一 选择题 每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分 1 设a b c 则a，b，c之间的大小关系是 a a2 已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2 c2 a2 b2 x b2 0，则方程根的情况是 a 有两相等实根 b 有两相异实根 c ...
九年级数学竞赛试题附答案
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