期末检测题。
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( a )
2．用配方法解方程x2＋10x＋20＝0，则方程可变形为( b )
a．(x＋5)2＝45 b．(x＋5)2＝5 ．(x－5)2＝45 d．(x－5)2＝5
3．下列事件，是必然事件的是( b )
a．掷一枚六个面分别标有1～6的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上。
b．在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天。
．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃。
d．任意选择电视的某一频道，正在**新闻。
4．把抛物线y＝－x2向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( d )
a．y＝－(x－3)2 b．y＝－(x＋3)2 ．y＝－x2－3 d．y＝－x2＋3
5．如图，⊙的半径为4，△ab是⊙的内接三角形，连接b，.若∠ba与∠b互补，则弦b的长为( b )
a．33 b．43
．53 d．63
6．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( b )
a．2 b．3 ．4 d．5
7．若点a(－2，n)在x轴上，则点b(n－1，n＋1)关于原点对称的点的坐标为( )
a．(1，1) b．(－1，－1)
．(1，－1) d．(－1，1)
8．以(2，2)为圆心，3为半径作圆，则⊙与直线y＝kx＋15k的位置关系是( a )
a．相交 b．相切 ．相离 d．都有可能。
9．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( )
a．1 b．0 ．2 d．3
10．如图，在半径为4的⊙中，d为直径，ab⊥d且过半径d的中点，点e为⊙上一动点，f⊥ae于点f.当点e从点b出发顺时针运动到点d时，点f所经过的路径长为( d )
a.3π b.32π
.33π d.233π
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，点a(1，2)关于原点对称的点为b(a，b)，则a＝__1__．
12．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是___
13．已知某抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，那么原抛物线的解析式是__y＝(x－3)2＋4__．
14．如图，在正方形abd中，ab＝2，点为正方形abd的边d上的动点(与点，d不重合)，连接b，作f⊥b，与正方形abd的外角∠ade的平分线交于点f.设＝x，△df的面积为y，则y与x之间的函数关系式为，第14题图) ,第15题图) ,第16题图)
15．如图，在边长为6的等边三角形ab中，e是对称轴ad上的一个动点，连接e，将线段e绕点逆时针旋转60°得到f，连接df.则在点e运动过程中，df的最小值是__1.5__．
16．如图，已知直线y＝－34x＋3分别交x轴、y轴于点a，b，p是抛物线y＝－12x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点p且平行于y轴的直线交直线y＝－34x＋3于点q，则当pq＝bq时，a的值是__－1或4或4＋25或4－25__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)若方程x2－4x＋＝0的一个根为－2，求和另一个根的值．
【解析】设方程的另外一个根为a，则有a－2＝4，－2a＝，解得：a＝6，＝－12.
18．(8分)(2018•武汉元调)甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球．甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球．从三个盒子中各随机取出一个小球．
(1)请画树状图，列举所有可能出现的结果；
(2)请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率．
【解析】(1)如图所示：
(2)p(取出至少一个红球)＝1012＝56.
19．(8分)如图，a是⊙上一点，半径的延长线与过点a的直线交于点b，＝b，a＝12b.
(1)求证：ab是⊙的切线；
(2)若∠ad＝45°，＝2，求弦ad的长．
【解析】(1)如图，连接a.∵a＝12b，＝b，∴a＝＝b，∴∠ab＝90°，∴ab是⊙的切线．
(2)如图，连接d.∵∠da＝2∠da，∠da＝45°，∴da＝90°.∵d＝a＝＝2，∴ad＝d2＋a2＝22＋22＝22.
20．(8分)某地2023年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2023年在2023年的基础上增加投入资金1 600万元．
(1)从2023年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在2023年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【解析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280(1＋x)2＝1 280＋1 600，解得x＝0.5或x＝－2.5(舍)，答：
从2023年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得：a≥1 900，答：
今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．
21．(8分)如图，在梯形abd中，ad∥b(b＞ad)，∠d＝90°，b＝d＝12，∠abe＝45°，若ae＝10.求e的长度．
【解析】过点b作da的垂线交da的延长线于点，为垂足，延长d到g，使g＝e，连接bg，易知四边形bd是正方形，在△be与△bg中，b＝b，∠＝bg＝90°，e＝g，∴△be≌△bg(sas)，∴bg＝∠be，be＝bg.∵∠abe＝45°，∴be＋∠ab＝∠bg＋∠ab＝45°，即∠abe＝∠abg＝45°.在△abe与△abg中，be＝bg，∠abe＝∠abgab＝ab，，∴abe≌△abg(sas)，∴ag＝ae＝10.
设e＝x，则a＝10－x，ad＝12－(10－x)＝2＋x，de＝12－x.在rt△ade中，ae2＝ad2＋de2，∴100＝(x＋2)2＋(12－x)2，即x2－10x＋24＝0，解得：x1＝4，x2＝6.
故e的长为4或6.
22．(10分)某服装店购进一批秋衣，**为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求该服装店销售这批秋衣日获利(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？
【解析】：(1)设y＝kx＋b，根据题意得60k＋b＝80，50k＋b＝100，解得k＝－2，b＝200，故y＝－2x＋200(30≤x≤60)．
(2)＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.(3)＝－2(x－65)2＋2000，∵a＝－2＜0，30≤x≤60，∴在x取值范围内，随x的增大而增大，则当x＝60时，有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，为1950元．
23．(10分)如图①，在△ab中，点p为b边中点，直线a绕顶点a旋转，若点b，p在直线a的异侧，b⊥直线a于点。n⊥直线a于点n，连接p，pn.
(1)延长p交n于点e(如图②)．
①求证：△bp≌△pe；
②求证：p＝pn；
(2)若直线a绕点a旋转到图③的位置时，点b，p在直线a的同侧，其它条件不变，此时p＝pn还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若直线a绕点a旋转到与b边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形bn的形状及此时p＝pn还成立吗？不必说明理由．
【解析】(1)证明：①∵b⊥直线a于点，n⊥直线a于点n，∴∠ba＝∠n＝90°，∴b∥n，∴∠bp＝∠ep.又∵p为b边中点，∴bp＝p.
又∵∠bp＝∠pe，∴△bp≌△pe.②∵bp≌△pe，∴p＝pe，∴p＝12e，在rt△ne中，pn＝12e，∴p＝pn.
(2)成立．延长p与n的延长线相交于点e，∵b⊥直线a于点，n⊥直线a于点n，∴∠bn＝∠n＝90°，∴bn＋∠n＝180°，∴b∥n，∴∠bp＝∠ep，又∵p为b中点，∴bp＝p.又∵∠bp＝∠pe，∴△bp≌△pe，∴p＝pe，∴p＝12e.在rt△ne中，pn＝12e，∴p＝pn.
(3)如图④，四边形bn是矩形，根据矩形的性质和p为b边中点，得到△bp≌△np，得p＝pn成立．即四边形bn是矩形，且p＝pn成立．
24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋(a≠0)与x轴相交于a，b两点，与y轴相交于点，直线y＝kx＋n(k≠0)经过b，两点，已知a(1，0)，(0，3)，且b＝5.
(1)分别求直线b和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点p，使得以b，，p三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)∵(0，3)，即＝3，b＝5，∴在rt△b中，根据勾股定理得：b＝b2－2＝4，即b(4，0)，把b与坐标代入y＝kx＋n中，得：4k＋n＝0，n＝3，解得：
k＝－34，n＝3.∴直线b解析式为y＝－34x＋3.由a(1，0)，b(4，0)，设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－4)，把(0，3)代入得：
a＝34，则抛物线解析式为y＝34x2－154x＋3.
(2)存在．如图所示，分两种情况考虑：∵抛物线解析式为y＝34x2－154x＋3，∴其对称轴为直线x＝52.设点p坐标为(52，y)，b与对称轴交于点q，可得q点坐标(52，98)，同时可求得q＝258，bq＝158.
当p1⊥b时，△p1b为直角三角形．p12＝(52)2＋(y－3)2，p1q＝y－98.∵p1q2＝p12＋q2.解得y＝193；当p2b⊥b时，△bp2为直角三角形．p2b2＝(4－52)2＋y2，p2q＝98－y，∵p2q2＝p2b2＋bq2，解得y＝－2.
综上所述，p1(52，193)或p2(52，－2)．当点p为直角顶点时，设p(52，y)，∵b(4，0)，(0，3)，∴b＝5，∴b2＝p2＋pb2，即25＝(52)2＋(y－3)2＋(52－4)2＋y2，解得y＝3±262，∴p3(52，3＋262)，p4(52，3－262)．综上所述，p1(52，193)，p2(52，－2)，p3(52，3＋262)，p4(52， )
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