八年级期末复习。
1. 如图，等边△abc的边长为1，cd⊥ab于点d，e为射线cd上一点，以be为边在be左侧作等边△bef，则df的最小值为___
2. （1）如图（1），已知：在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，直线m经过点a，bd⊥直线m，ce⊥直线m，垂足分别为点d、e．
证明：de=bd+ce．
2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△abc中，ab=ac，d、a、e三点都在直线m上，并且有∠bda=∠aec=∠bac=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论de=bd+ce是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3）拓展与应用：如图（3），d、e是d、a、e三点所在直线m上的两动点（d、a、e三点互不重合），点f为∠bac平分线上的一点，且△abf和△acf均为等边三角形，连接bd、ce，若∠bda=∠aec=∠bac，试判断△def的形状并说明理由．
3. 如图，在等腰直角△abc中，∠c=90°，点o是ab的中点，边ac的长为a，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在点o处，将三角板绕点o旋转，始终保持三角板的一条直角边与ac相交，交点为点d，另一条直角边与bc相交，交点为点e，证明：等腰直角三角形abc的边被三角板覆盖部分的两条线段cd与ce长度之和为定值a．
4. 如图1，直线ab分别与x轴、y轴交于a、b两点，oc平分∠aob交ab于点c，点d为线段ab上一点，过点d作de∥oc交y轴于点e，已知ao=m，bo=n，且m、n满足n2-12n+36+|n-2m|=0．
1）求a、b两点的坐标；
2）若点d为ab中点，延长de交x轴于点f，在ed的延长线上取点g，使dg=df，连接bg．
bg与y轴的位置关系怎样？说明理由；
求of的长；
3）如图2，若点f的坐标为（10，10），e是y轴的正半轴上一动点，p是直线ab上一点，且p的横坐标为6，是否存在点e使△efp为等腰直角三角形？若存在，求出点e的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析。
1.【答案】
解析】解：如图，∵△abc，△bef的是等边三角形，ab=bc，bf=be，∠abc=∠acb=∠ebf=60°，∠cbe=∠abf，在△bce和△baf中，△cbe≌△abf（sas），∠baf=∠bce，ca=cb，cd⊥ab，∠bce=∠acb=30°，ad=bd=，∠baf=30°=定值，根据垂线段最短可知，当df⊥af时，df的值最小，df的最小值=ad=．
故答案为．首先证明△cbe≌△abf，推出∠baf=∠bce，由ca=cb，cd⊥ab，推出∠bce=∠acb=30°，ad=bd=4，推出∠baf=30°=定值，根据垂线段最短可知，当df⊥af时，df的值最小．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质判断出∠fad=30°=定值，属于中考常考题型．
2.【答案】解：（1）如图1，∵bd⊥直线m，ce⊥直线m，∠bda=∠cea=90°，∠bac=90°，∠bad+∠cae=90°
∠bad+∠abd=90°，∠cae=∠abd，在△adb和△cea中，△adb≌△cea（aas），ae=bd，ad=ce，de=ae+ad=bd+ce；
2）如图2，∵∠bda=∠bac=α，dba+∠bad=∠bad+∠cae=180°-αdba=∠cae，在△adb和△cea中，△adb≌△cea（aas），ae=bd，ad=ce，de=ae+ad=bd+ce；
3）如图3，由（2）可知，△adb≌△cea，bd=ae，∠dba=∠cae，△abf和△acf均为等边三角形，∠abf=∠caf=60°，bf=af，∠dba+∠abf=∠cae+∠caf，∠dbf=∠fae，在△dbf和△eaf中，△dbf≌△eaf（sas），df=ef，∠bfd=∠afe，∠dfe=∠dfa+∠afe=∠dfa+∠bfd=60°，△def为等边三角形．
解析】1）根据bd⊥直线m，ce⊥直线m得∠bda=∠cea=90°，而∠bac=90°，根据等角的余角相等得∠cae=∠abd，然后根据“aas”可判断△adb≌△cea，则ae=bd，ad=ce，于是de=ae+ad=bd+ce；
2）由∠bda=∠aec=∠bac=120°，就可以求出∠bad=∠ace，进而由aas就可以得出△bad≌△ace，就可以得出bd=ae，da=ce，即可得出结论；
3）由等边三角形的性质，可以求出∠bac=120°，就可以得出△bad≌△ace，就有bd=ae，进而得出△bdf≌△aef，得出df=ef，∠bfd=∠afe，而得出∠dfe=60°，就有△def为等边三角形．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，判定三角形全等的方法有“sss”、“sas”、“asa”、“aas”；解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.【答案】证明：连接oc．
ac=bc，ao=bo，∠acb=90°，∠aco=∠bco=∠acb=45°，oc⊥ab，∠a=∠b=45°，oc=ob，∠boe+∠eod+∠aod=180°，∠eod=90°，∠boe+∠aod=90°，又∵∠cod+∠aod=90°，∠boe=∠cod，在△ocd和△obe中，△ocd≌△obe，cd=be，cd+ce=be+ce=bc=a．
解析】连接oc，证明△ocd≌△obe，根据全等三角形的性质得到cd=be，证明结论．
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4.【答案】（1）由n2-12n+36+|n-2m|=0．得：（x-6）2+|n-2m|=0，n=6，m=3，a（3，0），b（0，6）．
2）①bg⊥y轴．
在△bdg与△adf中，△bdg≌△adf
bg=af，∠g=∠dfa
oc平分∠abc，∠coa=45°，de∥oc，∠dfa=45°，∠g=45°．
∠foe=90°，∠feo═45°
∠beg=45°，∠ebg=90°，即bg与y轴垂直．
从①可知，bg=fa，△bde为等腰直角三角形．
bg=be．
设of=x，则有oe=x，3+x=6-x，解得x=1.5，即：of=1.5．
3）∵a（3，0），b（0，6）．
直线ab的解析式为：y=-2x+6，p点的横坐标为6，故p（6，-6）
要使△efp为等腰直角三角形，必有ef=ep，且∠fep═90°，如图2，过f、p分别向y轴作垂线垂足分别为m、n．
∠fep═90°
∠fem+∠pen=90°，又∠fem+∠mfe=90°
∠pen=∠mfe
rt△fme≌rt△enp
me=np=6，oe=10-6=4．
即存在点e（0，4），使△efp为等腰直角三角形。
解析】1）先求出m，n的值，即可得出结论；
2）①先判断出△bdg≌△adf，得出bg=af，∠g=∠dfa，最后根据平行线的性质得出∠dfa=45°，∠g=45°，即可得出结论；
利用等腰三角形的性质，建立方程即可得出结论；
3）先求出点p坐标，进而得出rt△fme≌rt△enp，进而得出求出oe，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了非负的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，求出点p的坐标是解本题的关键．
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