解析：方法一：(数形结合法)过点a作抛物线的准线x＝－1的垂线，垂足为b，由抛物线定义，有|ab|＝|af|，易知ab平行于x轴，∠afx＝，∠baf＝，△abf是等边三角形，过f作fc垂直于ab于点c，则|ca|＝|bc|＝p＝2，故|af|＝|ab|＝4.
方法二：(代数法)焦点f(1,0)，af的直线方程为y－0＝tan·(x－1)，即y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得[(x－1)]2＝4x，即3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或(舍去)，故点a的坐标为(3,2)，|af|＝＝4.
答案：b5.已知点p（x,y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点q（x+y,xy）的轨迹是。
a.圆b.抛物线c.椭圆d.双曲线。
解析：点p的轨迹方程是x2+y2=1,令a=x+y①，b=xy②,将①式两边平方得a2=x2+y2+2xy,将x2+y2=1及②式代入得a2=1+2b，所以点q的轨迹是抛物线。
答案：b6.（2011届·合肥质检）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为f，点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p3(x3，y3)在抛物线上，并且2x2＝x1＋x3，则有。
a．|fp1|＋|fp2|＝|fp3|
b．|fp1|2＋|fp2|2＝|fp3|2
c．2|fp2|＝|fp1|＋|fp3|
d．|fp2|2＝|fp1|·|fp3|
解析：抛物线的准线方程为x＝－，根据抛物线的定义，得|fp1|＝x1＋，|fp2|＝x2＋，|fp3|＝x3＋.
因为2x2＝x1＋x3，所以2＝＋，即2|fp2|＝|fp1|＋|fp3|.
答案：c二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.线段ab是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|ab|=4，则线段ab的中点c到直线x+=0的距离是。
解析：线段ab的中点c到准线x=-的距离为|ab|长的一半，则点c到直线x+=0的距离为。
答案： 8. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是米．
解析：如图，设抛物线方程为y＝ax2.将(－4，－2)代入方程得a＝－.
则抛物线方程为y＝－x2.
令y＝－1，则x＝±2.则水面宽度为4.
答案：49.已知q(4,0),p为y2=x+1上任一点，则｜pq｜的最小值为。
答案： 10.已知抛物线y2=4x，过点p（4,0)的直线与抛物线相交于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点，则y21+y22的最小值是。
解析：设直线方程x=my+4,代入y2=4x消去x得关于y的一元二次方程，y2-4my-16=0,δ=16m2+64>0.
y1+y2=4m,y1·y2=-16,y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32≥32,当m=0时，y21+y22取得最小值32.
答案：32三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11.抛物线y2=2px(p>0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是5，求此抛物线方程。
解：设△aob的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为o，ao边的方程是y=2x,则ob边的方程为y=-x.
由y=2x, y2=2px得点a坐标为（,p）.
由y=-x, y2=2px得点b坐标为（8p,-4p）.
因为|ab|=5,12. 已知动圆过定点a(1,0)，且与直线x＝－1相切．
1)求动圆的圆心轨迹c的方程；
2)是否存在直线l，使l过点b(0,1)，并与轨迹c交于p、q两点，且满足·＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设m为动圆圆心，由题意知：|ma|等于m到定直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知，点m的轨迹为抛物线，其中a(1,0)为焦点，x＝－1为准线．
所以动圆的圆心m的轨迹c的方程为：y2＝4x.
2)由题意可设直线l的方程为x＝k(y－1)(k≠0)，由得y2－4ky＋4k＝0.
所以δ＝16k2－16k>0k>1或k<0.
又y1＋y2＝4k，y1y2＝4k.
由·＝0x1x2＋y1y2＝0
k2(y1－1)(y2－1)＋y1y2＝0
k2＋1)y1y2－k2(y1＋y2)＋k2＝0
4k(k2＋1)－k2·4k＋k2＝0k＝－4或k＝0(舍去)．
又k＝－4<0，所以直线l存在，其方程为：x＋4y－4＝0.
b组。一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
1.已知抛物线c:y=x2的准线为，过与y轴的交点m作抛物线c的两条切线、，切点分别为a、b，则与的夹角为。
a.60b.75°
c.90d.120°
解析：由题意知m（0,-1），则设过m点的切线为y=kx-1.由y=kx-1，x2=4yx2-4kx+4=0.
令δ=16k2-16=0k2-1=0.所以k=±1，则与的夹角为90°.
答案：c2.（2011届·日照调研）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1(a>0)交于a、b两点，点f为抛物线的焦点，若△fab为直角三角形，则双曲线的离心率是。
abc．2d．3
解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为f(1,0)，直线x＝－1与双曲线的交点坐标为，若△fab为直角三角形，则只能∠afb为直角，△fab为等腰直角三角形，所以＝2a＝，从而可得c＝，所以双曲线的离心率e＝＝，选b.
答案：b二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
3. 若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝__
解析：直线的方程为y＝2(x－3)＋1＝2x－5，将联立得4x2－(20＋2p)x＋25＝0.
则x1＋x2＝＝6，解得p＝2.
答案：24.已知抛物线y=2px2(p>0)的焦点为f，点p(1,)在抛物线上，过p作pq垂直抛物线的准线，垂足为q.
若抛物线的准线与对称轴相交于点m，则四边形pqmf的面积为 .
解析：由p(1,)在抛物线上，得p=，故抛物线的标准方程为x2=4y,点f(0,1)，准线为y=-1,所以|fm|=2，|pq|=1+=，mq|=1，则直角梯形pqmf的面积为×(+2)×1=.
答案： 三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
5.（2011届·江苏无锡模拟）已知点p（1，3），圆c：（x-m）2+y2=过点a(1，-)f点为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，直线pf与圆相切。
1)求m的值与抛物线的方程；
2）设点b（2,5），点q为抛物线上的一个动点，求·的取值范围。
解：（1）点a代入圆c的方程，得(1-m)2+(-2=.
所以m=1，圆c：（x-1）2+y2=.
当直线pf的斜率不存在时不合题意。
当直线pf的斜率存在时，设为k，则pf:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.
因为直线pf与圆c相切，所以，解得k=1或k=-1.
当k=1时，直线pf与x轴的交点横坐标为-2，不合题意，舍去。
当k=-1时，直线pf与x轴的交点横坐标为4，符合题意。
所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x.
2) =1,-2),设q（x,y）, x-2,y-5),=x-2)+(2)(y-5)=-x-2y+12
--2y+12=- y+16)2+28≤28.
所以·的取值范围为（-∞28］.
6. 设抛物线的方程为y2＝4x，过点p(2,0)的直线l与抛物线交于a、b两点，点q满足＝＋λr)．
1)当λ＝1时，求点q的轨迹方程；
2)若点q在x轴上，且1<λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．
解：方法一：设直线l的方程为my＝x－2，代入y2＝4x得：y2－4my－8＝0.
设a、b点的坐标分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)．
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－8.
1)设q(x，y)，因为＝＋，所以y＝y1＋y2＝4m.
所以x＝x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4.
消去m得：x＝＋4，即点q的轨迹方程为：y2＝4(x－4)．
2)因为＝＋λx1＋λx2，y1＋λy2)且点q在x轴上，所以y1＋λy2＝0，即y1＝－λy2.
消去y2得：－λ2＝－8.
2m2＝＝λ2.
设f(λ)2，当1<λ<3时，f′(λ1－>0恒成立．
所以0<λ＋2<，即0.
所以k<－或k>即为直线l的斜率k的取值范围．
方法二：(1)因为＝＋，当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性得q点坐标为(4,0)．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入y2＝4x得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0，所以k≠0.
设a、b、q点的坐标分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)、q(x，y)．
因为＝＋，所以。
解得。消去k得：x＝＋4.又点(4,0)的坐标也满足方程，所以点q的轨迹方程为：y2＝4(x－4)．
2)因为＝＋λx1＋λx2，y1＋λy2)且点q在x轴上，所以y1＋λy2＝0，即k(x1－2)＋λk(x2－2)＝0.所以。即。
设f(λ)2，当1<λ<3时，f′(λ1－>0恒成立．
所以0<λ＋2<，0<<，所以k2>.
所以k<－或k>，即为直线l的斜率k的取值范围．
方法三：(1)设a、b点的坐标分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)，y＝4x1，y＝4x2，两式相减得：(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
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