一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1. 函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数为。
a．0 b．1 c．2 d．3
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立．所以f(x)在r上单调递增，故f(x)无极值．
答案：a2.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x
a.在(-∞0)上为减函数 b.在x=0处取极小值。
c.在(4,+∞上为减函数 d.在x=2处取极大值。
解析：使导函数y=f′(x)>0的x的取值范围为增区间；使导函数y=f′(x)<0的x的取值范围为减区间。
答案：c3. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x) (
a．存在极大值b．存在极小值。
c．是增函数d．是减函数。
解析：y′＝f(x)＋xf′(x)>0，x∈(0，＋∞所以选c.
答案：c4.函数y=x3-2ax+a在（0,1）内有极小值，则a的取值范围是。
a.(0,3bc. d.
解析：因为，所以即。
答案：b5.(2009·天津)设函数(x>0),则y=f(x
a.在区间，(1,e)内均有零点。
b.在区间，(1,e)内均无零点。
c.在区间内有零点，在区间(1,e)内无零点。
d.在区间内无零点，在区间(1,e)内有零点。
解析：因为(x>0),所以。
所以选d.答案：d
6. 已知f(x)的定义域为r，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则。
a．f(x)在x＝1处取得极小值。
b．f(x)在x＝1处取得极大值。
c．f(x)是r上的增函数。
d．f(x)是 (－1)上的减函数，(1，＋∞上的增函数。
解析：因为f′(x)≥0对任意的x都成立，所以f(x)为增函数．
答案：c二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.函数的最小值为 .
解析：由得x>1,由得0所以f(x)在x=1时取最小值，
答案： 8. 若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是 .
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不同的实数解．
所以δ＝4a2－4(a＋2)>0，即a2－a－2>0，所以a>2或a<－1.
答案：(-1)∪(2,+∞
9.（2011届·福州一中模拟）函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则关于f(x)的单调性叙述：
f(x)在(-∞1］和［3，5］上都是减函数；
f(x)在［1，3］和［5，+∞上都是减函数；
f(x)是r上的增函数。
其中正确的序号为。
解析：由图象知f′(x)≥0，所以函数f(x)在r上为增函数。
答案：③10. 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝ .
解析：因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，则解得所以a＋b＋c＝1.
答案：1三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11. 求下列函数的极值．
1)f(x)＝＋3ln x；
2)f(x)＝x2e－x.
解：(1)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞f′(x)＝－令f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
2)函数f(x)的定义域为r.
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
从表中可以看出，当x＝0时，函数f(x)有极小值，且f(0)＝0；当x＝2时，函数f(x)有极大值，且f(2)＝.
12. 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
1)试确定常数a和b的值．
2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：(1)f′(x)＝＋2bx＋1.因为f′(1)＝f′(2)＝0，所以解得。
2)由(1)得f(x)＝－ln x－x2＋x，所以f′(x)＝－x－1－x＋1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞时，f′(x)＜0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.
b组。一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
1.下面是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )
abcd.①④
解析：因为有两个极值点的为三次函数，有一个极值点的为其导函数，所以易得③④不正确，故选b.
答案：b2. 对任意的实数a、b，记max＝已知f(x)＝max(x∈r)，其中奇函数y＝f(x)在x＝1时有极小值－2，y＝g(x)是正比例函数，函数y＝f(x)(x≥0)与函数。
y＝g(x)的图象如图所示．下列关于函数y＝f(x)的说法中，正确的是。
a．y＝f(x)为奇函数。
b．y＝f(x)有极大值f (－1)，且有极小值f(0)
c．y＝f(x)的最小值为－2，最大值为2
d．y＝f(x)在(－3,0)上为增函数。
解析：在图中画出y＝f(x)的图象，易知选b.
答案：b二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
3. 已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈r)有极大值32，则实数a等于 .
解析：f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax，所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝或x2＝2.
所以在x1＝或x2＝2处取得极值．
把x＝2代入验证，极值为0，因此函数在x＝处取得极值32，即a××2＝32.解得a＝27.
答案：274.（2011届·福州质检）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=
解析：f′(x)=3x2+2ax+b,由题意。
但当a=-3时，,故不存在极值，所以a=4,b=-11,f(2)=18.
答案：18三、解答题(本大题共2小题，每小题14分，共28分)
5.(2010·北京)设函数(a>0)，且方程的两个根分别为1，4.
1）当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
2）若f(x)在(-∞内无极值点，求a的取值范围。
解：由得。因为的两个根分别为1,4，所以。
1）当a=3时，由（*）式得解得b=-3,c=12．
又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，故．
2）因为a>0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在（-∞内无极值点”等价于“≥0在（-∞内恒成立”.
由（*）式得2b=9-5a,c=4a.
又，解得a∈[1,9]，即a的取值范围是[1,9]．
6. 已知a∈r，函数f(x)＝xln(－x)＋(a－1)x.
1)若f (x)在x＝－e处取得极值，求函数f(x)的单调区间；
2)求函数f(x)在区间[－e2，－e－1]上的最大值g(a)．
解：(1)f′(x)＝ln(－x)＋a，由题意知f′(－e)＝0，解得a＝－1，所以f′(x)＝ln(－x)－1.
当x∈(－e)时，f′(x)>0，当x∈(－e,0)时，f′(x)<0，故函数f(x)的单调增区间为(－∞e)，单调减区间为(－e,0)．
2)因为f′(x)＝ln(－x)＋a，由f′(x)＝0得x＝－e－a，当x∈(－e－a)时，f′(x)>0，当x∈(－e－a,0)时，f′(x)<0，所以f(x)在x＝－e－a处取得极大值，f(x)极大值＝f(－e－a)＝e－a.
当a<－2时，因为－e－a<－e2，所以函数f(x)在区间[－e2，－e－1]上单调递减，f(x)max＝f(－e2)＝－a＋1)e2；
当－2≤a≤1时，因为－e－a∈[－e2，－e－1]，所以f(x)max＝f(－e－a)＝e－a；
当a>1时，因为－e－a>－e－1，所以函数f(x)在区间[－e2，－e－1]上单调递增，所以f(x)max＝f(－e－1)＝.
综上所述，得g(a)＝
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