课后限时作业（二十三）
60分钟，150分）
详解为教师用书独有)
a组。一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1.已知等腰△abc的腰为底的2倍，则顶角a的正切值是。
abcd.
解析：依题意，结合图形可得故。
选d.答案：d
2.△abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cos b=(
abcd.
解析：△abc中，a、b、c成等比数列，且c=2a,则选b.
答案：b3. 用长度分别为(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为。
a．8 cm2 b．6 cm2 c．3 cm2d．20 cm2
解析：用连接连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为6 cm2，选b.
答案：b4.据新华社2024年5月18**道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆。
台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断。某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是。
a.米b.米c.米d.米。
解析：如图所示：∠a=75°,∠c=45°,所以∠b=60°.又ac=20米，由正弦定理可知，所以(米).选a.
答案：a5.在△abc中，tan a·sin2b=tan b·sin2a，那么△abc一定是。
a.锐角三角形。
b.直角三角形。
c.等腰三角形。
d.等腰三角形或直角三角形。
解析：因为tan a·sin2b=tan b·sin2a，所以，即。
所以所以2a=2b或2a=π-2b,即a=b或a+b=.
选d.答案：d
6.某观察站c与两灯塔a、b的距离分别为300米和500米，测得灯塔a在观察站c北偏东30°，灯塔b在观察站c正西方向，则两灯塔a、b间的距离为。
a.500米b.600米c.700米d.800米。
解析：如图所示，ac=300，bc=500，∠bca=90°+30°=120°.
在△abc中，由余弦定理得ab2=ac2+bc2-2·ac·bc·cos∠bca.
即(米）.选c.
答案：c二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.已知a，b，c为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m=(,1),n=(cos a,sin a).若m⊥n，且acos b+bcos a=csin c,则角b
解析：由题知cos a-sin a=0,即tan a=,所以a=.
又acos b+bcos a=csin c,由正弦定理可知。
sin acos b+cos asin b=sin2c,即sin(a+b)=sin2c=sin c,所以sin c=1,c=,所以。
答案： 8.已知△abc的三个内角a、b、c成等差数列，且ab=1，bc=4，则边bc上的中线ad的长为 .
解析：由△abc的三个内角a、b、c成等差数列可得a+c=2b，而a+b+c=π可得∠b=.由ad为边bc上的中线可知，bd=2，由余弦定理可得ad=.
答案： 9.在△abc中，已知bc=8，ac=5，三角形面积为12，则cos 2c= .
解析：由三角形面积公式，得|bc|·|ca|·sin c=20sin c=12,即sin c=.
于是cos 2c=1-2sin2c=.
答案： 10.国际数学家大会会标是以我国古代数学家越爽的弦图为基础设计的。
弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 .
解析：由题知直角三角形的斜边长为5，设较短的直角边长为x,则另一边长为1+x,由勾股定理得52=x2+(1+x)2,解得x=3.所以sin θ=cos 2θ=1-2sin2θ=.
答案： 三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11.一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜。缉私艇的速度为14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值。
解：设a，c分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在b处追上，则有ab=14x,bc=10x,∠acb=120°.
所以（14x）2=122+(10x)2-240xcos 120°.所以x=2,ab=28，bc=20，所以。
所以所需时间为2小时，.
12. 某观测站在a南偏西20°方向的c处，由城a出发的一条公路，走向是南偏东40°，在c处测得公路上距c 31千米的b处有一人正沿公路向城a走去，走了20千米后到达d处，此时cd间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城a?
解：如图所示，设∠acd＝α，cdb＝β，在△cbd中，由余弦定理得cos β＝所以sin β＝
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝×
在△acd中，＝，所以ad＝＝15(千米)．
所以这人再走15千米就可到达城a.
b组。一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
1.设a，b，c分别是△abc的三个内角a,b,c所对的边，则a2=b(b+c)是a=2b的( )
a.充要条件b.充分而不必要条件。
c.必要而充分条件d.既不充分又不必要条件。
解析：设a，b，c分别是△abc的三个内角a，b，c所对的边，若a2=b(b+c),则sin2a=sin b(sin b+sin c),则，所以。
sin(a+b)sin(a-b)=sin bsin c.又sin(a+b)=sin c,所以sin(a-b)=sin b,所以a-b=b，a=2b.
若△abc中，a=2b，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2=b(b+c),所以a2=b(b+c)是a=2b的充要条件，选a.
答案：a2. 某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好。
km，那么x的值为。
ab．2c．2或d．3
解析：如图，由题意得∠abc＝30°.
因为ac＝，bc＝3，ab＝x，ac2＝ab2＋bc2－2ab·bc·cos 30°，所以()2＝32＋x2－3x.
解得x＝2或x＝.
答案：c二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
3.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60°，行驶4小时后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为 km.
解析：如图所示，易知ac=60 km，∠bac=30°，∠b=45°.在△abc中，由正弦定理得。
所以(km).
答案： 4.在平面直角坐标系xoy中，已知△abc的顶点a（-4，0）和c（4，0），顶点b在椭圆上，则。
解析：易知a、c为椭圆的左、右焦点，如图所示。由正弦定理可知又由椭圆的性质知ab+bc=10，ac=8，所以。
答案： 三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
5.如图，已知△abc是边长为1的正三角形，m、n分别是边ab、ac上的点，线段mn经过△abc的重心g，设∠mga=α.
1)试将△agm、△agn的面积（分别记为s1与s2）表示为α的函数；
2）求的最大值与最小值。
解：（1）因为g是边长为1的正三角形abc的重心，所以∠mag=.
由正弦定理得。
则。同理可求得。
因为。所以当或时，y取得最大值。
当时，y取得最小值=216.
6. (2009·海南、宁夏)为了测量两山顶m，n间的距离，飞机沿水平方向在a，b两点进行测量．a，b，m，n在同一个铅垂直平面(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和a，b间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算m，n间的距离的步骤．
解：法一：①需要测量的数据有：a点到m，n点的俯角α1，β1，b点到m，n的俯角α2，β2；a，b间的距离d(如图所示)．
第一步：计算am.由正弦定理得am＝；
第二步：计算an.由正弦定理得an＝；
第三步：计算mn.由余弦定理得。
mn＝.法二：①需要测量的数据有：
a点到m，n点的俯角α1，β1；b点到m，n点的俯角α2，β2；a，b间的距离d(如图所示)．
第一步：计算bm.由正弦定理得bm＝；
第二步：计算bn.由正弦定得得bn＝；
第三步：计算mn.由余弦定理得mn＝.
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