第二节：初等函数。
1、指数函数：
我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：
2）f(z)在整个复平面c上解析；
3），有；则可以证明，，事实上，由(3)及(1)有。
令其中a(y)及b(y)是实值函数，所以。
显然，及满足上面的条件。若则有。
因此，定义复指数函数，为。
由此有euler公式：
指数函数的基本性质：
5）指数函数在整个复平面内有定义并且解析，，指数函数是实指数函数在复平面上的解析推广；
6）euler公式：
7）从定义得。
利用euler公式，得到复数的指数表示式：若复数z的模为r，幅角为，则有；
8）指数函数是周期为得周期函数；
9）指数函数的几何映射性质：
由于指数函数有周期，所以研究当z在带形。
中变化时，函数的映射性质。设w的实部及虚部分别为u及v。
设z从左到右描出一条直线l：，那么，于是从0(不包括0)增大到，而保持不变，因此w描出一条射线（不包括），l和上的点之间构成一个双射；
让从0（不包括0）递增到，那么直线l扫过，而相应的射线按反时针方向从w平面上的正实轴（不包括它）变到正实轴（不包括它）。
因此，确定从带形b到成w平面除去原点及正实轴的一个双射。
显然，函数把直线在b上的一段映射成w平面上的一个圆除去u轴上的一点。
同理可以证明，函数把任何带形。
双射为w平面除去原点及射线argw=a；特别地，它确定从带形到w平面除去原点及正实轴的一个双射。
2、多值函数导引：辐角函数。
因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：
w=argz （）
它本身不是一般意义下的初等函数。
当时，w=argz函数有无穷个不同的值：
其中argz表示argz的主值：
我们也把argz的任意一个确定的值记为argz。
为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。
考虑复平面除去负实轴（包括0）而的的区域d。显然，在d内，argz的主值argz（）是一个单值连续函数，也是一个单值连续函数。
因此，w=argz在区域d内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=argz在d内的单值连续分支。
上述区域d可以看成是把复平面沿负实轴割开而得到，负实轴称为一条割线，它是区域的d边界；我们可以把这条割线看作有不同的上、下沿。函数w=argz的每个单值连续分支可以扩充成为直到负实轴（除去0）的上、下沿连续的函数，扩充的函数值称为上述单值连续分支在负实轴上、下沿所取的值。
显然，同一单值连续分支在负实轴上沿及下沿所取的值不同，例如w=argz的主值分支w=argz在负实轴上沿及下沿分别取值及。
下面研究在较一般区域内把幅角函数w=argz分解成单值连续分支的问题。
设为复平面上一点。在的充分小的邻域内（若，则此邻域不含0），任作一条闭简单连续曲线c围绕，即使属于c的内区域。在c上任取一点，并且确定w=argz在的值为。
让一点从出发按某一个方向沿c连续变动，最后回到，设argz相应地从连续变动到，则如果，那么；否则。
其次，考虑在扩充复平面上的情况。在无穷远点的充分“小”邻域内，即在内，其中为充分大的正数，任作一条闭简单连续曲线c围绕，即使圆包含在c的内区域。这时在c上在c上任取一点，并且确定w=argz在的值为。
让一点从出发按某一个方向沿c连续变动，最后回到时，argz连续变动所得得值也要变化。
因此，对于幅角函数w=argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线作为割线，得到一个区域的，其边界就是曲线。在内，任一条简单连续闭曲线c既不围绕0，也不围绕无穷远点，因此，当z沿这条曲线变动一周时，argz连续变动所得得值没有变化。
1)当是负实轴时，已经指出在内可以分解成无穷个单值连续分支；
2）当是任意一条连接0和无穷远点的无界简单连续曲线时，有完全相同的结论：设，取argz在的值为。设，作连接及的一条简单连续曲线。
设当z从沿连续变动到时，argz从连续变动到，则可以证明（应用数学分析中证明线积分与路径无关类似的方法），只与，及有关，与曲线的选取无关，这样，从argz在的值出发，可以确定argz在内任一其它点处的值；因此，我们得到在内一个单值连续分支，记作；它是argz在内的一个单值连续分支，因此argz在内的所有值可以分解成无穷多个单值连续分支，记为。
3）argz在c内上任一点（非原点）的各值之间的联系：任取，并通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回到时，argz相应地可从的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从argz的一个单值连续分支在的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在的值。
例：在c上作割线。
得到区域d=c-k，取argz在d内的一个单值连续分支f(z)=argz(arg1=0)，那么。
而argz在d内的无穷个单值连续分支是。
3、对数函数：
定义复对数函数是指数函数的反函数：已给复数z，满足方程函数称为对数函数，记为。令u及v为w的实部及虚部，那么，从而。
注解1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为的周期函数，所以对数函数必然是多值函数(无穷多值)；
注解2、相应argz的主值，我们把。
定义为argz的，记为lnz，所以有：
注解3、任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差的整数倍。
对数函数的基本性质：
1）对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；
对数函数的代数性质：
（2）对数函数的单值化：对数函数的多值性是由于argz的多值性引起的，而ln|z|在c\中任一点充分小的邻域内连续，可见对数函数在某些区域内也可以分解成一些单值连续函数，其中每一个称为对数函数在这区域内的一个单值连续分支。
在复平面上取负实轴作割线，得到区域d。w=lnz在区域d内可以分解成(6.2)中所表示出的无穷多个单值连续函数，它们都是w=lnz在区域d内的单值连续分支。
区域d的边界可以看作有不同的上、下沿。函数w=lnz的每个单值连续分支可以扩充成为直到负实轴（除去0）的上、下沿连续的函数，扩充的函数值称为上述单值连续分支在负实轴上、下沿所取的值。显然，同一单值连续分支在负实轴上沿及下沿所取的值不同，例如w=lnz在负实轴上沿及下沿分别取值及。
一般地，在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线作为割线，得到一个区域的，并且。取及，与argz在内的分解相对应，可把对数函数在分解成无穷多个单值连续函数分支，记作：
这样，在区域内，有。
（3）对数函数在任何区域内的单值连续分支都是解析的：如果f(z)是lnz在区域g内的一个单值连续分支，那么在g内f(z)解析，且有：
事实上，设，由于，对于模充分小的复数，我们有。
令，显然，并且h当趋近于0时，当趋近于f(z)，于是，有。
f(z)称为lnz在g内的一个解析分支。多值函数w=lnz在上述区域d及内可以分解成无穷多个解析分支。它是一个多值解析函数，我们所说的解析函数总是指单值解析函数，或多值解析函数的一个解析分支。
4、对数支点。
0和无穷远点对于对数函数w=lnz有特殊的意义。在0或无穷远点的充分“小”的邻域内，任作一条简单连续闭曲线c围绕0或无穷远点。根据argz连续变化的情况，当一点z从c上一点出发，沿c连续变化一周，lnz从它在的任一值连续变动到其它值，。
因此我们把0及无穷远点称为对数函数的支点。
这两个支点具有下列性质：当z从出发，沿c按一定方向连续变动无论多少周时，w=lnz总不可能从它在的任一值连续变化到同一值，因此我们把0及无穷远点称为对数函数的无穷阶支点，也特别地称为对数支点。
注解：对于其它初等多值函数，可以类似处理：即确定支点、作割线、分解成解析函数分支。
5、对数函数的几何性质：它的一个解析分支。
把z平面上的区域d双射成w平面上由。
所确定的带形。
6、幂函数。
利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为。
当a为正实数，且z=0时，还规定。
由于。因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子。
个数。因此，有下面的结论：幂函数的基本性质：
1）由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；
2）当是正整数时，幂函数是一个单值函数；
3）当（当n是正整数）时，幂函数是一个n值函数；
4）当是有理数时，幂函数是一个n值函数；
5）当a是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。
设在区域g内，我们可以把lnz分成无穷个解析分支。对于lnz的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在g内解析，并且。
其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。
对应于lnz在g内任一解析分支：当a是整数时，在g内是同一解析函数；当时，在g内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数在g内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。
例如当n是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有。
这是一个n值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域d内，它有n个不同的解析分支：
它们也可以记作。
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。
当a不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。
为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线c围绕0或无穷远点。在c上任取一点，确定argz在的一个值；相应地确定。
在的一个值。现在考虑下列两种情况：
1) a是有理数，当一点z从出发按反时针或顺时针方向连续变动n周时，argz从连续变动到，而则从相应地连续变动到，也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的n-1阶支点，也称n-1为阶代数支点。
2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。
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