第二章复变函数。
第一节解析函数的概念及c.-r.方程。
1、导数、解析函数。
定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限。
存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；
注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：
和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有。
求导的例子：
1）、如果（常数），那么；
3）、的任何多项式。
在整个复平面解析，并且有。
4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件。
可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：
定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：
1、 实部和虚部在处可微；
2、 和满足柯西-黎曼条件（简称方程）
证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时。
其中，。比较上式的实部与虚部，得。
因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有。
因此，柯西-黎曼方程成立。
充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：
设则由可微性的定义，有：
令，当（）时，有。
令，则有。所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：
1、 实部和虚部在内可微；
2、 )和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）
关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：
注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；
注解2、解析函数的导数形式更简洁：
公式可避免利用定义计算带来的困难。
注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。
3、例题。例1 证明在任何点都不可微。
解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。
例2 试讨论定义于复平面内的函数的可导性。
解：四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。
例3 设函数在复平面可导，试确定常数之值。
解 由方程得1）
由（1） 得3）
由（2） 得4）
解（3），（4），（5）得。
第二节初等解析函数。
1、幂函数。
利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为。
当为正实数，且时，还规定。
由于。因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子。
个数。2、幂函数的基本性质：
1、 由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；
2、 当是正整数时，幂函数是一个单值函数；
3、 当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；
4、 当是有理数时，幂函数是一个值函数；
5、 当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。
设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在内解析，并且。
其中应当理解为对它求导数的那个分支，应当理解为对数函数相应的分支。
对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；当时，在g内有个解析分支；当是无理数或虚数时，幂函数在内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。
例如当是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有。
这是一个值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域内，它有个不同的解析分支：
它们也可以记作。
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。
当不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。
为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线围绕0或无穷远点。在上任取一点，确定在的一个值；相应地确定。
在的一个值。现在考虑下列两种情况：
1)是有理数，当一点从出发按反时针或顺时针方向连续变动周时，从连续变动到，而则从相应地连续变动到。
也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的阶支点，也称为阶代数支点。
2）不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。
当不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。
关于幂函数当为正实数时的映射性质，有下面的结论：
设是一个实数，并且。在平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域。考虑内的角形，并取在内的一个解析分支。
当描出内的一条射线时（不包括0），在平面描出一条射线。让从0增加到（不包括0及），那么射线扫过角形，而相应的射线扫过角形，因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。
类似地，我们有，当是正整数时，的个分支。
分别把区域双射成平面的个角形。
3、例题。例1、 作出一个含的区域，使得函数。
在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点的值。
解：由于。我们先求函数的支点。
因为的支点是0及无穷远点，所以函数可能的支点是及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线，使其不经过，并使其内区域含0，但不包含1及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为。
当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而。
没有变化，于是在的值就从。
连续变动到。
因此0是函数的一个支点；
同时，任作一条简单连续闭曲线，使其不经过，并使其内区域含1，但不包含0及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为。
当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是在的值就从。
连续变动到。
因此1也是函数的一个支点；
同理，2和无穷远点也是它的支点。
支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。
首先，在复平面内作一条连接及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把分解成连续分支。例如可取作为复平面上这样的割线，得区域。
其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设是上一点，确定在的一个值，同样的讨论，有当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。
所以，我们可以作为割线如下，取线段及从2出发且不与相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取及作为复平面上的割线，得区域。
求在上述区域中的一个解析分支。
在的值。在，取。
于是在或内，可以分解成两个解析分支。
由于所求的分支在的值为，可见这个分支是。
由下图可以得到，在或内处，因此的所求分支在的值是。
例2、 验证函数在区域内可以分解成解析分支；求出这个函数在上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在下沿的值。
证明：我们有。
则0及1是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。
事实上，任作一条简单连续闭曲线，使其内区域包含，设是上一点，确定在的一个值，当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。
因此，在区域内，可以把分解成解析分支。现在选取在上沿取正实值的那一支，即在上沿，其中，根号表示算术根。求这一支在的值。
在上沿，取，。于是所求的一支为。
其中，根号表示算术根。求这一支在的。
在内处。于是的指定的一支在处的值是。
最后，考虑上述单值分支在下沿取值的情况。在区域内，当沿右边的曲线，从上沿变动到下沿时，没有变化，而减少了，于是在的下沿，有。
当沿左边的曲线，从上沿变动到下沿时，增加了，而没有变化，于是在的下沿，有。
因此，无论怎样，当在的下沿时，上述单值分支的值是。
注解1： 对具有多个有限支点的多值函数，不便采取限制辐角范围的办法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当联结支点以割破复平面，于是，在复平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。因为在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了。
注解2： 解例1，例2这类题的要点，就是作图观察，当动点z沿路线（在内，且不穿过支割线）从起点到终点时，各因子辐角的连续改变量： ，即观察向量的辐角的连续改变量。由此可计算。
复变函数第二章
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