第二章全纯函数。
2.1习题。
1.研究下列函数的可微性：
i）解： 时
不存在。这是因为当时，当时，故时，不可导。
当时，有。即知在也不可导。
从而处处不可导。
ii) 解：时。
显然不存在。
这是因为当时。
当时，时可导，.
iii）显然不存在。
这是因为当时，当时，从而处处不可导。
v)为常数。
不妨设显然。
故在处处可导。
2.设和都在处可微，且证明：
提示： 4．设域g和域d关于实轴对称，证明：如果是d上的全纯函数，那么是g上的全纯函数。
提示： 2.2习题。
1.设d是域，如果对每个都有，证明是一常数。
证明：因为，而==0(定理2.2.4)
所以=0, =0,而=,=故=0, =0.
因此是一个常数。
3.设，证明在z=0处满足cauchy-reimann方程，但在z=0处不可微。
提示：,.直接算偏导。
8.设d是域， ,在d中不取零值，证明： 对于任意p>0,有=.
提示： =4,将写成，利用=0, =0, =计算。
11.设d是域，是非常数的全纯函数，则和是d上的调和函数，而不是d上的调和函数。
提示： 对z求偏导。
如果调和，则0,从而是常数，矛盾。
12.设d,g是域，是全纯函数，证明：若u是g上的调和函数，则是d上的调和函数。
证明： 因为u是g上的调和函数，局部存在全纯函数， 则局部全纯，于是局部有，从而调和。
15.举例说明：存在上的调和函数，它不是上全纯函数的实部。
解：是上的调和函数，它不是上全纯函数的实部。
(反证) 假设存在b(0,1)\上的全纯函数，使得，设，是实值函数。
则，从而。由题2.(iv) 可知常数， 故存在
即。由的连续性可知是常数。
于是在连续，不可能。
16.设，.证明：
(i) 如果极限存在，那么和存在，并且相等。
(ii) 如果极限存在，那么和存在，而且=.证明：(i
ii)利用，由(i)即得。
2.3习题。
1．求映射在和处的转动角和伸缩率。解：因为。
2．设f是域d上的全纯函数，且在d上不取零值，试证：
i）对每一个，曲线和曲线正交；
证明：（i）和是平面中的正交直线。因为，故是保角的。
从而曲线和曲线的夹角等于直线和的夹角，等于。
2.4习题。
1.验证。证明：令，则。
所以。3.证明：若，则必有。
证明： ,4.设是整函数，证明：
i)若。ii) 若对每个，有，且，则。
证明：i），故。
ii),令。
7.设在中全纯，证明：
i）若；ii)若， ,且，则。
证明：i）令，则。
常数)令，则。
故。ii)提示，令得。
8．证明：在中单叶。
证明： 取。
故在中单叶。
12．设在上全纯，证明：
若，则。若，, 且则。
证明：(i) 要证，即证。
及。ii)令得。
即。14.证明：
证明：(i)
在上式中以，代入，得。
得。得。
19.证明：将半条形域一一地映为上半平面。
证明：令，则是由指数。
与rokovsky函数的复合。
故将半条形区域一一映成上半平面。
20.证明是的单叶性域，并求出。
证明： 给出的单叶性。
时，由rokovsky函数的性质易得。
21.当按逆时针方向沿圆周旋转一圈后，计算下列函数辐角的增量：
iii) iv).
解：iii)
在圆周外，1在圆周内。
所以当按逆时针方向沿圆周旋转一圈后， 辐角的增量为。
iv) 均在圆周内，所以辐角的增量为0.
22.设证明：能在域上选出单值的全纯分支。
证明： 只需考虑。
设是d中的简单闭曲线，则当沿逆时针绕行一周时， 若内部不含，则辐角增量为0, 若位于内部，则辐角增量为。
故从而能在域上选出单值的全纯分支。
23.证明：能在域上选出单值的全纯分支。
证明：将映入，而对数函数在上能选出全纯分支。
24.设单叶全纯映射将域d一一地映为g,证明：g的面积为。
证明：令，变换行列式=
25.设是域d上的单叶全纯映射，是d中的光滑曲线，证明：的长度为。
证明： 故的长度为。
26.设d是平面上去掉线段和射线后得到的域，证明函数能在d上分出单值的全纯分支。设是满足的那个分支，试计算的值。
解： 取d中任一简单闭曲线，则都不在内部，从而沿逆时针绕行一周时，辐角的增量为0,故能选出全纯分支。
设。 由， 故。
2.5习题。
1. 试求把上半平面映为上半平面的分式线性变换，使得，0,1分别映为0,1,.
解： 2. 证明： 分式线性变换把上半平面映为上半平面的充要条件是都是。
实数，而且。
证明： 必要性：因为线性变换把实轴映为实轴，故中都是实数；
因为属于上半平面，故。
充分性：对都有，从而将实轴映为实轴，又im,故将上半平面映为上半平面。
4.试求把单位圆盘的外部映为右半平面的分式线性变换，使得。
i)1,-i,-1分别变为i,0,-i;
ii)-i,i,1分别变为i,0,-i.
解：(i)
(ii) 10.设是一个分式线性变换，如果记=,那么。证明：
从而证得。11.设，是两个分式线性变换，如果记。
=那么。证明： =
又 = 从而。
12.设是过-1和1的圆周，和都不在圆周上。如果那么和必分别于的内部或外部。
证明：由圆的对称性知的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为。
又由平面几何知识知，从而。
设在内部，则位于走向1，,-1的左边，因此分式线性变换，将映为走向即1，，-1的左边。
注意=，走向1，，-1的左边即的外部，故在外部。
15.求一单叶全纯映射，把除去线段的第一象限映为上半平面。
提示： 先作变换，再作，最后作变换可得。
16. 求一单叶全纯映射，把半条形域映为上半平面，且把，分别映为1,-1,0.
提示： 先作变换，再作，.
即。17.求一单叶全纯映射，把除去线段的条形域映为条形域，其中，a是实数，
提示：先作变换，再作变换便可得结论。
19.求一单叶全纯映射，把除去线段的单位圆盘的外部映为上半平面。
提示：先作变换，再作变换。
即为所求的单叶全纯映射。
第二章复变函数
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第二章复变函数
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复变函数第二章
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