基本要求：
1．正确理解复变数函数路积分的概念；
2．深透理解柯西定理及孤立奇点的定义；
3．理解并会熟练运用柯西公式。
本章重点：
柯西定理，柯西公式和孤立奇点。
2.1．复变函数的积分。
1、复变函数积分。
复数积分是复平面上的线积分。设l是复平面上的一条由a到b点的光滑曲线，在曲线上复变函数f(z)有定义，在曲线上任意分为n段，曲线上各分点为。
k是[zk-1, zk]段上的任意一点。作和数。
当n无限增大，使每一δzk都趋于零时，如果这个和数的极限存在，且其值与各个点ξk的选取无关，则这极限值称为函数沿曲线由a到b的路积分：因。因此。
即，复变函数的路积分归为两个实变函数的线积分。
2、复变函数积分的性质。
由上一积分式知，复变积分具有实变函数线积分所具有的一般性质。
1）常数因子可以移到积分号之外：
a为常数。2）函数的和的积分等于各个函数的积分之和：
3）反转积分路径，积分变号：
l－表示l的逆向。
4）全路径上的积分等于各段积分之和：
l = l1 + l2 + ln
此外，还有经常用到的：
6），其中m为在l上的上界，c为l的长度。
例2.1 求，l为（1）沿实轴由0 → 1，再平行虚轴1 → 1 + i；（2）沿虚轴由0 → i，再平行实轴i → 1 + i。，（3）沿直线0 → 1 + i。解：（1）
3）因l的直线方程为，因此。
2.2．柯西定理。
单连通区域：在区域中任何简单的闭合曲线，曲线内的点都属于该区域。
复连通区域（或称多连通区域）：由多于一条的闭曲线组成的区域。简单说就是带“孔”的区域。
奇点：如果复变函数f(z)在某点不可导，这点就称为f(z)的奇点。
孤立奇点：如果复变函数f(z)在某个奇点的有限小邻域上（不包括该奇点）是解析的，这奇点称为孤立奇点。例如a点是函数1/(z - a)的孤立奇点。
柯西定理一：设f(z)是由回路l所围的闭单连通区域上的解析函数，则。
证：因。设f(z)也是连续的，即都是连续函数。因此上式右边两个积分利用格林公式。
有：由c－r条件，上式右边为零。证毕。
推论一：单连通区域内，解析函数的积分值只与积分曲线的两端点有关，而与曲线的具体形状无关。
证：（略）柯西定理二：如果复变函数f(z)是复连通区域上的单值解析函数，则。
其中lk（k = 1, 2, ,n）是复连通区域边界上各分段光滑的闭曲线。
证明：（略）
推论二：对于闭复通区域上的单值解析函数，沿外边界线逆时针方向的积分等于沿各内边界线逆时针方向积分之和。
推论三：闭单通或闭复通区域上的解析函数，当积分路径连续变形（或说不跳过“孔”）时，只要起点和终点不变，函数的积分值不变。
例2.2 计算。
解：a点是一个奇点，被积函数在该点不可导。考虑l绕和不绕a点情况。
若回路不绕a点，根据柯西定理，积分为零。若l绕a点，考虑以a点为圆心作一半径为r的圆周c，则在圆周c上，，根据柯西定理则有：
因此，易证：
此例是很有用的。
2.3．不定积分。
根据柯西定理，在单连通区域内的解析函数f(z)沿区域内任一段光滑曲线的积分值只与起点和终点有关。因此，如果固定起点z0，而终点为z，则不定积分。
是区域内的一个单值解析函数（证明略），且。
称f(z)为f(z)的原函数。
2.4．柯西公式。
1、柯西公式。
设函数f(z)在以l为边界的闭区域上解析，点a为区域内的一个点。根据上节例2.2，有：
另外，如图，考虑如下积分，并根据柯西定理二的推论，我们有：
上式左边与园半径大小无关，所以右边积分也不应依赖园的大小。因此，可令 → 0。又因为，其中m为在c上的最大值，c为园的周长。在圆周上，，因此有：
令 → 0，则有f(z) =f(a)，得：
因此有：即：
即：上式称为柯西积分公式，简称柯西公式。
2、几个重要推论。
1）柯西公式。
将柯西积分公式中的a是区域中任意一点，因此用z取代a，并将变量代换以避免混淆，得：
因上式积分是在边界上进行，因此ξ –z 0，因此被积函数在积分域处处连续，因此上式可求导，因此有。
以此类推：上式也称为柯西公式。
2）最大模定理（证明略）
若f(z)是闭区域中的解析函数，则模 f(z)的最大值在边界上。
3）刘维定理(证明略）
若f(z)在全平面解析，而且当z → 时， f(z)有界，则f(z)是一个常数。
4）均值定理(证明略）
解析函数f(z)在其解析区域内任一点a的函数值f(a)，等于在以a为圆心、完全位于区域内的任意一个园上的函数值的平均，即。
5）柯西不等式（证明略）
其中m是 f(z)在边界上的最大值，l是边界的全长，d是由z到边界点的最短距离。
第二章复变函数的积分
2 1 复变函数的积分。一 复变函数的路径积分。2 2 科希定理。一 单连通区域上的科希定理。若是闭合回路所围区域上的解析函数，则。或。2 复连通区域上的科希定理。若是闭合回路所围区域上的解析函数，则。例1 计算回路积分。解 1 回路不包围的情况。根据科希定理。2 回路包围的情况。根据复连通区域上的...
复变函数第二章
第二章全纯函数。2.1习题。1.研究下列函数的可微性 i 解 时 不存在。这是因为当时，当时，故时，不可导。当时，有。即知在也不可导。从而处处不可导。ii 解 时。显然不存在。这是因为当时。当时，时可导，iii 显然不存在。这是因为当时，当时，从而处处不可导。v 为常数。不妨设显然。故在处处可导。2...
第二章复变函数
第二节 初等函数。1 指数函数 我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z x iy的函数f z 满足下列条件 2 f z 在整个复平面c上解析 3 有 则可以证明，事实上，由 3 及 1 有。令其中a y 及b y 是实值函数，所以。显然，及满足上面的条件。若则有。因此，定义复指数函...