第二章“整式的加减”简介

第二章“整式的加减”简介。

本章“整式的加减”属于代数学，是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容．从《数学课程标准》看，关于式的内容主要研究整式、分式和二次根式等内容。关于整式，主要研究整式的加、减、乘、除运算，对于整式的这四种运算，本套教科书分为两章安排，本章是整式运算的第一章，主要研究整式的加减运算，关于整式的乘除运算，安排在八年级上册的“第15章整式的乘除及因式分解”一章中。

课时安排：本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：

2．1 整式约2课时。

2．2 整式的加减约4课时。

数学活动小结约2课时。

本章知识结构框图：

通过本章学习，应使学生达到以下学习目标：

1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。

2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。

3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。

4．能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。

一、内容安排。

本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项、去括号以及整式加减运算等。本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，本章内容的编写是在学生已有的用字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。整式的加减运算是学习下一章“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具。

全章包括两节内容。这两节内容都是由章前引言中的问题引出的。在章前引言中，教科书以2023年正式通车的青藏铁路为背景，根据路程、速度和时间的关系设计了几个问题，解决这些问题要用到用字母表示数、用式子表示数量关系以及对式子进行化简等，为引出单项式、合并同类项及去括号等概念和法则提供实际背景，使学生感到学习这些概念和运算是实际的需要。

第2.1节“整式”主要介绍单项式、多项式、整式及其相关概念。这些概念是结合实际问题给出的。

在引出这些概念的过程中，教科书充分重视与实际问题的联系，在实际情景中抽象出数学概念。本节开始，教科书从章前引言中的问题（1）入手，在速度已知的前提下，利用公式“路程＝速度时间”，首先计算当时间是具体数字时火车所行驶的路程，然后逐步过渡到当时间用字母表示时火车所行驶的路程，这个路程可以用含有字母的式子表示出来。教科书的这种设计，一方面让学生在回顾复习小学所学的用字母表示数的同时，感受到式子中的字母表示数，含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系，式子更具有一般性等；另一方面，由于列出的这个式子是一个单项式，从而为后面引出单项式的概念做必要的铺垫。

接下去，教科书设置一个“思考”栏目，要求以填空的方式写出几个实际问题的答案，这些答案都是用含有字母的式子来表示实际问题中的数量关系，所列出的式子都是单项式。这样，教科书就结合实际问题引出了对单项式概念的讨论，通过分析所列出的这些式子的共同特点给出单项式的概念、单项式的系数和次数的概念等。为了进一步巩固概念，教科书设计一个例题，例题中包括五个实际问题，要求用单项式解决问题。

通过这个例题，在巩固单项式概念的同时，也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系，并用单项式表示出来，为学习下一章列方程打基础。有了单项式的概念，教科书在此基础上开始研究多项式的概念。对于多项式概念的引入，教科书采用的方式与单项式概念的引入基本相同。

首先设置一个“思考”栏目，栏目中包括四个实际问题，解决这些实际问题，需要分析问题中的数量关系，并用含有字母的式子表示这些关系。由于所列出的式子都是多项式，通过分析这些式子的共同特点，教科书给出了多项式的概念，以及多项式的项数和次数的概念等。为了进一步熟悉多项式的概念，类似于单项式，教科书也给出一个例题，例题中有四个实际问题，要求用多项式表示问题中的数量关系，从而得到实际问题答案。

对于多项式的概念，教科书紧密结合实际问题展开，并充分注意对列式表示数量关系的训练，这样就可以做到在引出和巩固多项式概念的同时，进一步培养学生分析实际问题中的数量关系并列式表示数量关系的能力，为下一章学习列方程打基础。

第2.2节“整式的加减”是在学习合并同类项和去括号的基础上，研究整式加减的运算法则。本节内容的编写充分重视了“数式通性”，是在有理数运算的基础上，通过类比来研究整式的加减运算法则。

本节开始首先研究了同类项的概念和合并同类项的方法。教科书从章前引言中的问题（2）出发，通过分析这个实际问题中的数量关系，列出式子，化简这个式子需要合并同类项，这样教科书就通过实际问题引出了对合并同类项内容的讨论。接下去，教科书设置“**”栏目，栏目中包括两个问题，第一个问题是关于有理数的运算，实际上是在式子中，当t取2和-2时的算式，计算这两个算式可以利用分配律，这为解决问题（2）提供方法上的引导。

问题（2）要求根据问题（1）中的方法化简式子，由于这个式子中的字母t表示数，问题（1）和问题（2）中的式子有相同的结构，这样，教科书通过分析算式与含有字母的式子的结构，通过与数的运算进行对比，引出了合并同类项的方法，即利用分配律合并同类项。至此，教科书对同类项的讨论只涉及到一次的情形，重点引出了合并同类项的依据，为更一般的同类项的合并提供方法上指导。对于一般的同类项的合并，教科书设置了一个“**”栏目，要求类比前面所研究关于式子的化简，讨论更一般的同类项（例如多项式中的项的次数高于1,字母不止一个等）的合并，并结合这个“**”栏目，讨论了同类项的特点，给出同类项的概念。

之后，教科书采用与数进行类比的方式，讨论了利用数的运算律（如交换律、结合律、分配律等）将多项式中的同类项进行合并，进一步体现了“数式通性”。与合并同类项一样，去括号也是是整式加减的基础，教科书在充分讨论合并同类项之后，研究去括号的内容。教科书从章前引言的问题（3）出发，利用速度、时间和路程的关系，在已知速度和时间的前提下，列出表示路程的式子，这两个式子都带有括号，化简它们首先需要去括号，这样教科书就结合一个实际例子引出了对去括号的**。

类比着数的运算，分析去括号前后各项符号的变化情况，就可以得到去括号的符号变化规律。研究了合并同类项和去括号的内容，就可以学习整式的加减运算法则。接下去，教科书通过几个具体例子，利用合并同类项和去括号的法则，归纳得出了整式加减运算的法则。

二、编写特点。

1．注意与小学相关内容的衔接。

本章主要内容是整式及其相关概念和整式的加减运算，教科书将这些内容的编写与列出整式表示数量关系密切联系起来，而用整式表示数量关系是建立在用字母表示数的基础之上的。在小学，学生已经学过用字母表示数、简单的列式表示实际问题中的数量关系和简易方程等，这些知识是学习本章的直接基础。因此本章编写时，充分注意与这些内容的联系，在整理小学相关内容的基础上进行编写。

例如，在本章第2.1节的一开始，教科书就提出问题“列车在冻土地段行驶时，2小时行驶多少千米？3小时呢？

t小时呢”，这个问题实际上让学生经历了一个由数到式过程，体现了用字母表示数的意义，使学生感受到式子中的字母表示数，为下面继续学习用式子表示数量关系在思考问题的方法上进行引导。因此，教学时，要注意与小学学过的相关内容联系起来，在第2.1节的教学中，可以多举一些例子，复习用字母表示数，复习时要注意这个复习不是简单的重复，而是在复习的基础上有所提高，让学生充分体会字母的真正含义，逐渐熟悉用式子表示数量关系，理解字母可以象数一样进行计算，为学习整式的加减运算打好基础。

2．加强与实际的联系。

在解决实际问题时，似乎遇到的都是具体的数字，但在数字运算的背后，却隐含着式的运算。因此本章编写时，加强了与实际的联系，无论是概念的引出，还是运算法则的**，都是紧密结合实际问题展开的。例如，本章的章前引言，以青藏铁路为背景提出三个问题，这三个问题实际上是引出了本章将要讨论的主要问题。

在讨论单项式的概念时，教科书从章前引言的实际问题（1）出发，引出用字母表示数，指出用含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系，接着，教科书又在一个“思考”栏目中给出四个实际问题，这些实际问题是为了引出单项式的概念而设计的。类似的，在学习多项式的概念时，教科书也是在一个“思考”栏目中给出四个实际问题，通过分析解决这四个实际问题所列出的式子，抽象概括给出多项式的概念。再比如，在学习整式加减运算时，对于合并同类项和去括号这两个进行整式加减运算的基础，教科书也是紧密结合实际问题展开的。

对于同类项的概念和合并同类项的方法，教科书是结合着章前引言中的实际问题（2）引出的；对于去括号，教科书是结合着章前引言中的实际问题（3）引出的。另外，在本章的例题和习题中，也设计了大量的实际问题。这些实际问题选材广泛，有的选自于工农业生产，有的是与学生生活密切联系，也有反映社会进步的，等等。

教科书的这种编写方式，可以让学生充分感受所学知识与实际的联系，体会由实际问题抽象出数学问题的过程，培养学生利用数学解决实际问题的能力。

3．类比数学习式，加强知识的内在联系，重视数学思想方法的渗透。

整式可以简洁地表明实际问题中的数量关系，它比只有具体数字表示的算式更有一般性。整式中的字母表示数，这使得关于整式的运算与数的运算具有一致性，因此可以说整式的运算是建立在数的运算基础之上的，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形。由于学生已经学习了有理数的运算，能够灵活运用有理数的运算法则和运算律进行运算，因此本章编写时，充分注意了与数的运算相联系，类比着数的运算，在数的运算的基础上探求整式加减运算的法则和规律。

例如，在学习合并同类项法则时，教科书通过一个“**”栏目，将数的运算和式的运算对照起来。先让学生进行数的运算和，在计算的过程中，重点思考进行运算的依据，然后，引导学生利用这个依据，**关于式的运算。由于式子中的字母表示数，因此可以用关于数的运算法则和运算律对式子进行变形和化简。

对于类比数的运算来学习式的运算，教科书是非常强调的，在可以进行类比的地方基本都提出明确要求。比如，在研究去括号时，教科书明确指出“上面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简”。因此，本章编写加强了数的运算与式的运算之间的联系，利用学生所熟悉的数的运算来学习式的运算，充分利用类比的思想方法，体现“数式通性”，促使学生的学习形成正迁移。

4．加大探索空间，发展思维能力。

给学生留出探索交流的空间，培养学生的**能力和创新精神是本套教科书的一个编写特点。为此，教科书在正文中专门设置了“思考”“**”和“归纳”的栏目，力求使得数学结论的获得是通过学生思考、**等活动而归纳得出的。此外，教科书也设计了“数学活动”“课题学习”等专栏，为学生提供更多的探索的空间。

本章编写时，结合本章内容的特点，在为学生提供探索空间、发展学生的思维能力方面做了积极努力，无论是对于概念的获得，还是运算法则的研究，教科书都充分注意为学生创造探索空间。例如，对于本章的两个主要概念单项式和多项式，教科书改变了以往直接给出概念的做法，而是设计了一个由学生探索得出结论的过程。以单项式为例，教科书首先设置一个“思考”栏目，栏目中有四个问题，要求学生用含有字母的式子填空，然后分析所填式子的共同特点，这里要求学生分析所填式子的共同特点实际上为学生创造了**发现单项式概念的机会，学生通过**所列出的几个式子的相同点和不同点，发现它们的共同特点，从而得到单项式的概念。

这个过程让学生经历形成概念的探索过程，对单项式概念的本质会有更深入的理解。再比如，对于运算法则的获得，教科书也给学生留出了较大的探索空间。以研究合并同类项法则为例，教科书强调类比数的运算来研究式的运算，对学生来讲，这个类比的过程是充满挑战性的，是培养创新能力的好素材。

因此教科书通过设置“**”栏目，将这个类比的过程留给学生，让学生通过探索，找到数的运算与式的运算的相同之处，通过类比得到合并同类项的方法，同时也理解了合并同类项的依据。关于这个“**”栏目中所设计的类比的过程，在前面已经谈到，这里不再赘述。总之，这样的一种编写方式为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式。

因此，教学中要注意改进教学方式，充分相信学生，尽可能为学生留出探索的空间，发挥学生学习的主动性和积极性，培养学生的创新精神和自学意识。

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