数学建模电子教案。
第4次课。课题第二章数学规划模型§2.4动态规划模型教学内容。
动态规划模型的建立及求解。
1.使学生掌握基本的建立动态规划模型的方法。
2.能运用matlab及mathematica软件求解动态数学规划问题。动态规划模型的实际应用动态规划模型的理论讲解。
教学目标。教学重点教学难点。
双语教学dynamic programming动态规划内容、安排subject to约束教学手段、
以板演为主，多**教学及课堂讨论为辅。
措施。作业、后记课后作业：p43,6-7
教学过程及教学设计。
2.4动态规划模型。
一．最短路问题及其解法。
如下图所示，称它为线路图（网络图）。
备注。其中圆圈称为点，两点之间的连线称为弧，弧上的数字称为弧长。
b15ab2
c1c2
d1d2ec3d3c4数学建模电子教案。
第4次课。求一条从起点a到终点e的连通弧，使其总弧长最短—最短路问题。
2．意义。最短路问题的含义是很广泛的，如点代表加油站，弧代表管道，弧长代表铺设管道。
的费用。问题就变成让我们设计一条从起点a到终点e的管道，使其总费用最少。
3．特点①从a到e整个过程可分为从a到b（b有二种选择b1,b2）从b到c（c有四种选择c1，c2，c3，c4），从c到d（d有三种选择d1，d2，d3），在从d到e四个阶段，是一个多阶段决策问题。②每个阶段都有起点，用xk表示第k阶段的起点，并称为状态变量：每个阶段都有。
终点，前一段的终点就是后一段的起点。
从每个起点出发（状态出发），都有若干选择（例如从b1出发有三种选择），用uk表示从第k阶段的状态xk出发所作的选择并成为决策变量。决策变量全体成为决策集合。
允许决策集合），即为dk。
如果用fk(xk)表示从第k阶段的状态xk出发终点的最短弧长，或者用fk(xk)表。
示从起点到第k阶段的状态xk的最短弧长，则问题就变成求f1(x1)(f1(a))或者求出。
f5(x51)(f5(e))。4．解法①逆序解法：从后向前逐步求出各阶段到终点e的最短路线与最短弧长，最后求出。
即从最后一个阶段k=4开始。
逆序解法：求。
f1(x1)
f5(x5)f5(e)0
k4,f4(d1)3,f4(d2)2,f4(d3)2
k=3,有4个状态，每个状态又有两个决策可选取，所以有。
d(c1,d1)f4(d1)63
f3(c1)min9d(c,d)f(d)821242
u3(c1)d1。类似地有最短弧长为9，路径为决策为c1d1e,f3(c2)6;c2d1e,u3(c2)d1
f3(c3)5;c3d2e,u3(c3)d2
f3(c4)5;c4d2e,u3(c4)d2
k=2，有2个状态，每个状态又有3个决策可选，所以有。
1．问题。数学建模电子教案。
第4次课。b1c2e,u2(b1)c2,u3(c2)d2,u4(d1)e.
d(b,c)f(c)862232
f2(b2)mind(b2,c3)f3(c3)7512
d(b,c)f(c)662434
b2c3d2e,或b3c4d3eu(b)c,u(c)d,u(d)e22333242k1d(a,b1)f2(b1)
f1(a)mind(a,b)f(b)122
那么从a到e的最短弧长为14，路径为ab1c2d1e。
决策为u1(a)b1,u2(b1)c2,u3(c2)d1,u4(d1)e.
上述解法的四个步骤可归纳为下述地推公式。
f(x)minkk1k1k1kkxkdk
f5(x5)0,k4,3,2,1
其中xk1uk(xk)。
顺序解法：从前逐步求出从起点a到个阶段起点的最短弧长及其对应的路径。
f5(x5)f5(e)。最后求出。
二．动态规划的基本概念。
1.多阶段决策问题，状态变量xk，允许决策变量uk，决策集合dk，最优函数fk(xk)
这些概念在前面的例中都已介绍过不再重复。需补充说明的是状态变量必须满足无后效。
性（即马尔科夫性）条件。即：给定某一阶段的状态，以后各阶段的行进不受以前个阶。
段状态的影响。
2.阶段指标：用dd(xk1,xk)表示状态xk和状态xk1间对应的指标，并称为阶段指。
标。3.策略：当每一阶段的策略都确定以后，由初始状态x1出发到终止状态xn每阶段的决。
策。所构成的决策序列就成为一个整体策略，简称策略。
ppk,nkknn记为，而称为子策略。达到最。
优的策略成为最优策略。
d(b1,c1)f3(c1)19
f2(b1)mind(b1,c2)f3(c2)369
d(b,c)f(c)65
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第4次课。注：1．动。
关，由与策略有关。逆序时，如果第k阶段的状态xkn和决策uk都确定以后，第k+1阶态规划主。
要是解决段的状。
多阶段决。态xk1就随之确定，那么把这个对应称为状态装移方程，记为xk1t(xk,uk1)。最短。
策问题。有。
路问题的状态装移方程是xk1uk1(xk)。
趣的是很。多表面上。
5.指标函数：用来衡量所实现过程优劣的一种指标成为指标函数，用fk,n或f1,k表示。指。
看并不是。标函数有和与积二种形式。又分逆序和顺序二种情形。即多阶段的n问题，只有。
fk,nd(xj,uj)恰当地分。
jk逆序情形断就可变n
成一个多。jk阶段问题。
从而可利。k
用动态规。顺序情形划求解。这j2
k里的关键是分段和。
j2正确地选。
择上诉变6.动态规划方程：量和指标。
函数，尤其（1）逆序情形：要注意状。
fk(xk)opt态变量的。
ukdk无后效性。
fn1(xn1)0,(kn,n1,2,1)2．在建。
f(x)optkkkkk1k1立动态规ukdk
划方程时，f(x)1,(kn,n1,2,1)n1n1首先要确。
定是用逆。2）顺序情形序法，还是。
用顺序法。f(x)optkkkk1k1k1由于这二uk1dk1
种方法的。f(x)0,(k2,3,n1)11边界条件。
不同，因此fk(xk)opt在选择方。
uk1dk1法时，要根。
f1(x1)1,(k2,3,n1)据边界条件的难易来。7.最优化原理：从最短路问题我们看到他具有这样的特点，如果最短路线过第k阶段的。
状态xk，那么从xk出发到达终点的这条路线，对于从xk出发到达终点的所有路线来说，3．要灵4.状态转移方程：把过程由一个状态变到另一个状态的变化叫做状态转移。它与状态有。
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第4次课。也是最短的。
三．建立动态规划模型的基本步骤。
1．将问题的过程恰当地分成若干阶段，一般可按问题所处的时间或空间进行划分，并确定阶段变量。如k1,,n。
2．正确选择状态变量xk并满足无后效性条件。3．确定决策变量uk(xk)及允许决策集合dk(xk)。4．写出状态转移方程。
5．明确指标函数fk,n或f1,k与阶段指标d(xk,xk1)之间的关系以及边界条件。6．写出动态规划方程（数学模型）。
活运用最优化原理，不要四套上诉步骤。
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第4次课。
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