第二章水静力学。
本章研究的问题：
液体处于静止（或称平衡）状态下的力学规律及其在工程中的应用。
思考1挡水墙的静水压强按什么规律分布？ 挡水墙所受的总压力是多少？
思考2提升闸门需要多大的力f?
思考3海面下108m深处的水的压强是多少？
2-1 液体静压强及其特性。
本节研究的问题：静止液体的应力有什么特征？
液体静止时，表面力只有压应力(压强),切应力为零。
静止液体内部的压强称为液体静压强，或称为静水压强。
静水压强具有两个基本特性：
特性一： 静止的液体不能承受拉应力，只能承受压应力（压强）。 静水压强的方向为受压面的内法向。
特性二： 静止液体内部任一点各个方向的压强值的大小相等证明如下)
我们证明，当图中的四面体缩成一点时，四个面上的压应力相等。
作用在四面体内的流体的外力和为零。
其静力平衡方程为：
2-2 液体平衡微分方程。
一。液体平衡微分方程：
边长分别为dx,dy,dz的微元平行六面体。
受表面力和质量力的共同作用而保持静止。
微元体的中心为a点，左表面的中心为b点，右表面的中心为c点。 a点的压强为p(x,y,z)。
x方向的静力平衡：
同理。液体平衡微分方程反映了液体处于平衡状态时，单位质量液体所受的质量力与表面力彼此平衡。
二。等压面：
等压面的定义：流体中压强相等的点所组成的面。
等压面方程。
上式表明：流体质点沿等压面作任意位移时，质量力所做的功为零。
故：等压面与质量力正交。
三。质量力有势的概念：
如果则： 在重力场中：
2-3 重力场中的液体平衡。
一。水静力学基本方程：
均质液体ρ=常数，质量力只有重力。取z轴为海拔高度方向，则：
即：在重力场中，处于静止（平衡）状态的不可压缩液体内部，等压面就是等高面。
二。水静力学基本方程的物理意义和几何意义：
1.物理意义：
z——单位重量液体所具有的位置势能（相对于某基准面）。
p/——单位重量液体所具有的压强势能。
z+p/——单位重量液体所具有的总势能。
方程的物理意义：静止液体内部任一点的单位重量液体所具有的位置势能和压强势能之和为常数。
2.测压管：
测压管液柱高度：
用开口管测压强，液柱高度为：
用真空管测压强，液柱高度为：
工程中的测压管都是开口管。
3.几何意义：
z——液体中某点相对于某基准面的位置高度，称为位置水头（单位：m）。
p/——压强水头（单位：m） 。
z+p/——测压管水头（p为相对压强）。
方程的几何意义：静止液体中任一点的位置水头和压强水头之和为常数。
2-4 静水压强的计算与测量。
一。绝对压强、相对压强和真空度：
绝对压强的定义： 以绝对真空作为零点计量的压强值，称为绝对压强。
相对压强的定义： 以当地大气压作为零点计量的压强值，称为相对压强。
真空度（真空压强、真空值）的定义： 当液体中某点的绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与该点绝对压强的差值，称为该点的真空度。
若用p′表示液体内部某一点的绝对压强 ，pa表示当地大气压的绝对压强值。则：
该点的相对压强（表压强）p： p = p′－pa
该点的真空度（真空压强 ）pv ： pv = pa－p′ (当p′< pa 时）
二。压强的计量单位：
1）、应力单位： n/m2 (pa) ，或 kn/m2 (kpa)。
2）、大气压的倍数：标准大气压，工程大气压。
3）、液柱高度表示：米水柱(mh2o) 或毫米水银柱 (mmhg)。
1标准大气压 = 10.33米水柱= 760 mmhg = 10.13104 n/m2
1工程大气压 = 10米水柱= 735 mmhg = 9.8104 n/m2
三。液柱式测压计：
形管压差计：
点1的压强：p1
界面3的压强：
界面4的压强：
点2的压强：
2.π形管（倒u形管）压差计：
3.倾斜微压计：
倾斜微压计用于测量较小的压强值，可提高测量精度。
未测压时，倾斜微压计的两端通大气，容器与斜管中的液面同在一个水平面上。测压时，容器上部测压口与被测流体相连，在相对压强的作用下，容器内液面下降h2 ，而斜管液面上升l长度。
例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。已知：
水面高程z0=3m,压差计各水银面的高程分别为z1=0.03m, z2=0.18m, z3=0.
04m, z4=0.20m, 水银密度，水的密度。试求水面的相对压强p0。
解： 例2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。
该微压计是一个水平倾角为θ的π形管。已知测压计两侧斜液柱读数的差值为l=30mm，倾角θ=30，试求压强差p1 – p2 。
解： 例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。
两个u形管的工作液体为水银，密度为ρ2 ，其连接管充以酒精，密度为ρ1 。如果水银面的高度读数为z1 、 z2 、 z3、 z4 ，试求压强差pa – pb。。
解：点1 的压强 ： pa
2-5 液体的相对平衡。
一。作水平等加速运动液体的相对平衡：
液体随容器作等加速度运动，液体内部没有相对运动，处于相对平衡状态。
1. 液体中任一点p的计算式：
坐标系oxyz 固定在小车上，与小车上一起运动。
分析单位质量力：
2.等压面方程：
可见，等压面为一族倾斜的平面。
3.液体的自由表面方程：
液体的自由表面亦为等压面，且过坐标原点。把x=0,z=0代入（2）,有：c=0。
将上式代入（1），可得：
可见，水静力学的基本方程亦适用于作水平等加速运动容器中液体处于相对平衡的情形。
二。等角速旋转容器中液体的相对平衡：
液体随容器作等角速度旋转运动，液体内部没有相对运动，处于相对平衡状态。
1.液体任一点p的计算式：
坐标系oxyz 固定在容器上，与容器一起旋转。
分析单位质量力：
2.等压面方程：
等压面上，p = c1。代入（1）,有：
可见，等压面为一族绕中心轴（z轴）的旋转抛物面。
3.液体的自由表面方程：
液体的自由表面亦为等压面，且过坐标原点。把r=0,z=0代入（2）,有：c=0。
将上式代入（1），可得：
可见，水静力学的基本方程亦适用于作等角速度旋转容器中液体处于相对平衡的情形。
例4 ： 用离心铸造机铸造车轮。求a-a面的液体总压力。
解。在界面a-a上：z = h
例5： 在一直径d = 300mm，而高度h = 500mm的园柱形容器中注水至高度h1 = 300mm，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。如图所示。
1)试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n1;
2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数n2，此时容器停止旋转后水面高度h2将为多少？
图。解：(1)由于容器旋转前后，水的体积不变(亦即容器中空气的体积不变)，有：
在xoz坐标系中，自由表面1的方程：
对于容器边缘上的点，有：
2)当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一部分，液面为图中2所指。在坐标系中：
自由表面2的方程：
当。这时，有：
2-6 静止液体作用在平面上的总压力。
确定液体作用在平面上的总压力的大小 、方向和作用点。
一。 解析法：
1.总压力的大小：
平板所受的总压力的大小 f ，等于平板形心的压强乘以板的面积。
上式的应用条件：1）、常密度液体；2）、质量力仅为重力；3）、液体表面相对压强为零；4）、受压面只有一侧有液体。
2.总压力的方向：
合力的方向为受压面的内法向。
3.总压力的作用点(即压力中心)d：
由于工程实际中的受压面都是轴对称平面，合力的作用点(即压力中心）d必在对称轴上，只需yd即可确定d 点的位置。
方法：合力矩定理：
4. 两种对称平面图形的jcx之值：
1).矩形平板：
2).园形平板：
二。**法：
主要适用于矩形受压平面，利用受压面的相对压强分布图来求解。
由水静力学基本方程知：受压平面上的相对压强呈线性分布。
1).合力f的大小等于压强分布体的体积，即 f = b；
2).合力f的方向为垂直指向受压面；
3).合力f的作用线通过压强分布体的形心，作用线与受压面的交点即为d点。
例6：已知：一块平板宽为 b，长为l,倾角，顶端与水面平齐。求：总压力及作用点。
解：总压力：
压力中心d：
方法一： 方法二：
例7：如图，已知一平板，长l,宽b,安装于斜壁面上，可绕a转动。已知l,b,l1,θ。求：启动平板闸门所需的提升力f。
解：例8：平板a b,可绕a转动。长l=2m,宽b=1m, θ60°，h1=1.2m,h2=3m为保证平板不能自转，求自重g。解： 图1
例9：与水平面成45°倾角的矩形闸门ab (图1)，宽1m，左侧水深h1 = 3m，右侧水深h2 = 2m，试用**法求作用在闸门上的静水总压力的大小和作用点。
解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。
图2静水总压力：
设合力的作用点d距a点的距离为l，则由合力矩定理：
即，静水总压力的作用点d距a点的距离为2.45m。
2-7 静止液体作用在曲面上的总压力。
讨论静止液体作用在二向曲面上的总压力：
二向曲面（二元曲面）为具有平行母线的柱面。
一．静止液体作用在二向曲面上的总压力：
1.总压力。
的大小：作用在二向曲面a上的液体总压力 f 的水平分力fx等于作用在该曲面的垂直投影面ax上的液体总压力 。
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