习题二1. 一袋中装有5只球，编号依次为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大的号码，写出随机变量的分布律。
解以表示取出的3只球中的最大的号码，由古典概型易知的分布律为。
2. 一批产品包括10件**，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到**为止。
假定每件产品被取到的机会相同，求抽取次数的分布律。
解抽取产品为伯努里试验，设事件=，
事件表示前次均取到次品，而第次首次取到**，则的分布律。
3. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为，当在生产过程**现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布律。
解由题设可知，自动生产线生产产品（废品与合格品）为贝努里试验，事件表示首次出现废品之前已生产个合格品，而生产合格品的概率为，则在两次调整之间生产的合格品数的分布律为。
4. 将一颗骰子抛掷两次，表示两次掷得的小的点数，求的分布律。
解样本空间，随机变量的所有取值为，的分布律。
5. 试确定常数，使得下列函数成为分布律：
2） 为常数。
解 （1）由得； （2）由得。
6. 设在三次独立试验中，出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率为，求在一次试验**现的概率。
解设在一次试验**现的概率为，在三次独立试验中，出现的次数为， 则。的分布律为。
故至少出现一次的概率为
解得。7. 一大楼装有5个同类型的供水设备。 调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率是0.1，问在同一时刻。
1) 恰有2个设备被使用的概率是多少？(2) 至多有3个设备被使用的概率是多少？
3) 至少有1个设备被使用的概率是多少？
解设在同一时刻被使用设备的个数为，则。的分布律为。
于是 (1) 恰有2个设备被使用的概率为。
2) 至多有3个设备被使用的概率是。
(3) 至少有1个设备被使用的概率是。
8. 甲、乙进行投篮，投中的概率分别为0.6，0.7. 今各投3次。 求。
1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率。
解设各投3次甲、乙两人投中的次数分别为，则。
的分布律为 , 即。
的分布律为 ， 即。
1）两人投中次数相等的概率为。
2）甲比乙生产投中次数多的概率。
9. 设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.
30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格不能出厂。
现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求。
1）全部能出厂的概率；2）其中恰好有两件不能出厂的概率；
3）其中至少有两件不能出厂的概率；
解记=“仪器需调试”， 仪器能直接出厂”， 仪器能出厂”，
“仪器经调试后能出厂”，设为所生产的台仪器中能出厂的台数，则作为所生产的次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布，即，因此。
10. 有一繁忙的汽车站，在一天的某段时间内出事故的次数服从参数为的泊松分布，问出事故的次数不少于2的概率是多少？
解。11. 某一公安局在长度为的时间时隔内收到的紧急呼叫次数服从参数为的泊松分布，而与时间时隔的起点无关（时间以小时计）。
1）求某一天中午12时至下午3时没有收到的紧急呼叫的概率；
2）求某一天中午12时至下午5时至少收到一次的紧急呼叫的概率。解
12. 实验器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数服从参数为的泊松分布，试求。
1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；
2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。
解（1）的分布律为，个细菌全部是甲类细菌的概率，所以生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率。
2）产生了细菌而且没有甲类细菌的概率等于生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率，所以在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率为
13. 已知随机变量的分布律为
试求关于的一元二次方程有实数根的概率。
解若关于的一元二次方程有实数根，则判别式。
的一元二次方程有实数根的概率为。
14. 从学校乘汽车到火车站途经3个交通岗，每个交通岗的红灯相互独立，红灯出现的概率都为0.4，设表示“遇到红灯的次数”，求的分布律及分布函数。
解设表示“遇到红灯的次数”，易知的分布律为。
即得的分布律。
若当时，则是不可能事件，所以=0.
当时， 当时，
当时， 当时，
故随机变量的分布函数为
15. 设随机变量服从（0-1）分布，求的分布函数，并作出其图形。
解分布的分布律写成**形式。
若当时，则是不可能事件，所以=0.
当时， 当时，
故随机变量的分布函数为
16. 随机变量的分布函数为。
1) 当为何值时为连续函数？(2) 当为连续函数时，求；
3) 当是连续型随机变量时，求的概率密度。
解 （1）故。
2）当为连续函数时，3）是连续型随机变量时，的概率密度。
17. 设随机变量的概率密度为。
1) 试确定常数； (2) 随机变量的分布函数； (3) 求
解 （1）由于。
所以。 故x的概率密度为。
2）当时，.
当时，.当时， 故。
18. 设随机变量的概率密度为求随机变量的分布函数。
解当时，.当时，.
故 19. 若在（1，6）上服从均匀分布，求方程有实数根的概率。
解在（1，6）上服从均匀分布，随机变量的概率密度为。
方程若有实数根，则判别式，, 所以方程有实数根的概率为。
20. 某种型号的电子管的寿命（以小时计）具有以下的的概率密度。
现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500小时的概率。
解某只电子管的寿命大于1500小时的概率为。
任取5只，记寿命大于1500小时的电子管的只数为，，从而。
21. 某种电器元件的使用寿命（以小时计）服从参数的指数分布。
1）任取一个这种电器元件，求能正常使用1000小时以上的概率；
2）有一个这种电器元件，求能正常使用1000小时后还能使用1000小时以上的概率。
解的概率密度为。
22. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，概率密度为。
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求。
解顾客在窗口未等到服务而离开的概率为， 故，即的分布律，且。
23. 假设一大型设备在任何长为时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。
1）求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；
2）求在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。
解 (1) 由于是非负随机变量，可知当时，
当时，事件与等价，所以当时。
从而即服从参数为的指数分布。
24. 设随机变量求落在（9.95,10.05）内的概率。
解。25. 设随机变量。求。
解。26. 设随机变量求概率。
解。27. 已知从某批材料中任取一件时，取得的这种材料的强度服从。
1) 计算取得的这些材料的强度不低于170的概率；
2) 如果所用的材料要求以的概率保证强度不低于160，问这批材料是否符合这个要求？
解。即从这种材料中任取一件以概率（小于）的概率保证强度不低于160，所以这批材料不符合所提出的要求。
28. 某人上班所需的时间（单位：分）.已知上班时间为早晨8点，他每天7点出门。求。
1) 每天迟到的概率； (2) 某周（5天计算）最多迟到一次的概率。
解 (1) 某人上班所需的时间，已知上班时间为早晨8点，他每天7点出门。 设每天迟到的概率为，则每天不迟到的概率。
得。（2）某周（5天计算）迟到的次数为。则。的分布律为。
某周（5天计算）最多迟到一次的概率为。
29. 在电源电压不超过200，在和超过三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，假设电源电压服从正态分布，试求。
1）该种电子元件损坏的概率；
2）该种电子元件损坏时，电源电压在的概率；
解引进下列事件， =由条件知，因此。
(1) 由题设条件知由全概率公式。
2) 由条件概率公式知。
30. 已知随机变量的分布律为。
试求（1）；（2）的分布律。
第二章几何分析习题解答
2 3a 方法一 支承链杆只有三根。可以去除三根支承链杆，只须分析体系内部是否几何不变。取abc刚片如图所示，刚片上加五对二元体不会改变其几何不变的性质。满足二元体规则，该体系是无多余约束的几何不变体系。方法二 支承链杆只有三根。可以去除三根支承链杆，只须分析体系内部是否几何不变。去掉五对二元体，得...
第二章习题解答
2.1 解均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式。设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为。对于半圆片的质心，即代入，有。2.2 解建立如图2.2.1图所示的球坐标系。把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加 图中阴影部分所示 设均匀球体的密度为。则 由对称性可知，此球帽的...
第二章习题解答
第二章。思考题。1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。答 傅立叶定律的一般形式为 其中 为空间某点的温度梯度 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向 为该处的热流密度矢量。2 已知导热物体中某点在x,y,z三个方向上的热流密度分别为及，如何获得该点的热密度矢量...