高二数学（理）每周一测（十二） 2012-5-20
班级姓名学号。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设，若（为虚数单位）为正实数，则（ ）
a．2b．1c．0d．
2．设集合，，那么“”是“”的（ ）
a．必要而不充分条件b．充分而不必要条件。
c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件。
3．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）．则该组合体的表面积等于（ ）
a． b． c． d．
4．曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为（ ）
a． b. c． d．
5．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是（ ）
a． b． c． d．
6．若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（ ）
a． b． c． d．
7．的展开式中有理项的个数是（ ）
a．24 b．25 c．26 d．27
8．设，，…是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）
a．48b．96c．144d．192
二、填空题：（本大题共4小题，共20分）
9．设等差数列的前项和为，若，则 ．
10．已知，则= ．
11．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 ．
12．如图4，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙于点．若，，则。
三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
13．已知函数（ⅰ）求的定义域与最小正周期；
ii）设，若求的大小。
14． 7位同学站成一排，求满足下列要求的排法各有多少种：
1）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法；
2）甲、乙、丙三个同学都相邻；
3）甲、乙、丙三人都不能相邻，其余四人也不能相邻；
4）甲不能站在第二位，乙不能站在第五位。
15．（本小题满分12分）
如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，
1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
16．（本小题满分14分）
已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．
1）求的解析表达式；
2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．
17．在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
1）分别计算，和，的值；
2）求数列的通项公式（将用表示）；
3）设数列的前项和为，证明：，．
每周一测（12）（理科）参***及评分标准。
一、选择题：
二、填空题：
一）必做题（9～13题）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
13．已知函数
ⅰ）求的定义域与最小正周期；
ii）设，若求的大小。
思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；
2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值。
精讲精析】（i）【解析】由， 得。
所以的定义域为，的最小正周期为。
（ii）【解析】由得。
整理得。因为，所以因此。
由，得。所以。
14. 解（1）问题可以看作：7个元素的全排列＝5040；
15．（本小题满分12分）
如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，
1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
解：（1）线段的中点就是满足条件的点． …1分。
证明如下：取的中点连结，则。
2分。取的中点，连结，且，△是正三角形，∴．
四边形为矩形，．又∵，…3分。
且，四边形是平行四边形．……4分，而平面，平面，平面6分。
2）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，是平面与平面所成二面角的棱．……8分。
平面平面，平面，又∵平面，∴平面，是所求二面角的平面角．……10分。
设，则，12分。
解法2）∵，平面平面，以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．
设，由已知，得，，．
8分。设平面的法向量为，则且，解之得。
取，得平面的一个法向量为。
10分。又∵平面的一个法向量为．
12分。说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．
16．（本小题满分14分）
已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．
1）求的解析表达式；
2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．
解：（1）设（其中），则2分。
由已知，得，，解之，得，5分。
2）由（1）得，，切线的斜率，切线的方程为，即7分。
从而与轴的交点为，与轴的交点为，（其中9分。
11分。当时，，是减函数；
当时，，是增函数13分。
14分。说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．
17．（本小题满分14分）
在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
1）分别计算和的值；
2）求数列的通项公式（将用表示）；
3）设数列的前项和为，证明：，．
解：解：（1）由已知，得2分。
2）（证法1），，
猜想4分。以下用数学归纳法证明之．
当时，，，猜想成立；
假设时，猜想成立，即，那么。
时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立6分。
当为奇数时，；
当为偶数时，．
即数列的通项公式为9分。
注：通项公式也可以写成）
证法2）令，，则，．
从而（常数），，又，故是首项为，公差为的等差数列，∴，解之，得，即6分。
从而．（余同法1）……8分。
注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）
3）（法1）由（2），得．
显然10分。
当为偶数时，12分。
当为奇数（）时，
综上所述14分。
解法2）由（2），得．
以下用数学归纳法证明，．
当时，；当时，．∴时，不等式成立．……11分。
假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，当为偶数时，时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，不等式成立．……14分
说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．
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