2023年春季期高二年级数学周测（一）答案及解释。
一、选择题。
二、填空题。
14.4 15. 5x＋y＋2＝0 16. x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
17. (10分)在△abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsin a＝acos b．
1)求角b的大小；(2)若b＝3，sin c＝2sin a，求a，c的值．
解：(1)由bsin a＝acos b及正弦定理＝得sin b＝cos b．所以tan b＝.所以b＝.
2)由sin c＝2sin a及＝，得c＝2a.①
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos b，得。
9＝a2＋c2－ac.②所以由①②得，a＝，c＝2.
18. 已知是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
1)求数列的通项公式；(2) 求数列的前n项和sn.
解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1或d＝0(舍去)，an＝1＋(n－1)×1＝n.
2)由(1)知。
sn＝2＋22＋23＋…＋2n
＝2n＋1－2.
19．(本小题满分12分)已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为a(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆c交于不同的两点m，n.
1)求椭圆c的方程；
2)当△amn的面积为时，求k的值．
解：(1)a＝2，e＝＝，c＝，b＝，椭圆c：＋＝1.
2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则由。
消y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
直线y＝k(x－1)过椭圆内点(1,0)，∴0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，s△amn＝×1×|y1－y2|＝×kx1－kx2|＝
即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
20.理科解：如图所示，以点a为原点建立空间直角坐标系，
依题意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)．
1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝1,1，－1)，于是·＝0，所以b1c1⊥ce.
设平面b1ce的一个法向量m＝(x，y，z)，则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，所以平面b1ce的一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，b1c1⊥ce，又cc1⊥b1c1，ce∩cc1＝c1ce，cc1平面cec1，所以b1c1⊥平面cec1，故＝(1,0，－1)为平面cec1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝
－，从而sin〈m，〉＝
所以二面角b1 ce c1的正弦值为。
文科：已知函数f(x)＝x3－3x2＋10.
1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 求函数f(x)的极值．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当f′(x)>0时，也即当x>2或x<0时，f(x)单调递增；
当f′(x)<0时，也即当0∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞0)和(2，＋∞单调递减区间是(0,2)．
2)由（1）可知， f(x)在x=0处取得极大值为f(0)=10，f(x)在x=2处取得极小值为f(2)=6。
附录：部分选择题、填空题解释。
6．等差数列40,37,34，…中的第一个负数项是( )
a．第13项 b．第14项。
c．第15项 d．第16项。
解析：由条件知等差数列的公差d＝37－40＝－3，等差数列的通项公式为。
an＝40＋(n－1)×(3)＝－3n＋43.
令an＜0，即－3n＋43＜0得n＞14，等差数列的第一个负数项是a15.
7．在△abc中，已知a＝8，b＝60°，c＝75°，则b＝(
a．4 b．4
c．4 d．
解析：在△abc中，a＝180°－(b＋c)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，b＝＝＝4.
8. 不等式2x2－x－1>0的解集是( )
a. b．(1，＋∞
c．(－1)∪(2，＋∞d.∪(1，＋∞
解析：2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)>0，所以不等式的解集为∪(1，＋∞
9. 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
a．y＝±x b．y＝±x
c．y＝±x d．y＝±2x
解析：由得。
所以a＝＝，因此双曲线的方程为－y2＝1，所以渐近线方程为y＝±x.
10若实数x，y满足则的取值范围是( )
a．(0,1) b．(0,1]
c．(1，＋∞d．[1，＋∞
解析：不等式组所表示的可行域如右图阴影部分所示．
而表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点o与直线ab平行的直线l的斜率为1，l绕点o逆时针转动必与ab相交，直线ob的倾斜角为90°，因此的范围为(1，＋∞
11．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是( )
a．锐角三角形 b．钝角三角形。
c．直角三角形 d．等腰三角形。
解析：双曲线的离心率e＝，椭圆的离心率e＝，由已知ee＝1，即·＝1，化简，得a2＋b2＝m2.∴以a、b、m为边长的三角形为直角三角形．
12．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )
a．0 b．4
c．－4 d．－2
解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
14．过抛物线y2＝4x焦点的直线交抛物线于a，b两点，若|ab|＝10，则ab的中点到y轴的距离等于___
解析：抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，准线为l：x＝－1，设ab的中点为e，过a，e，b分别作准线的垂线，垂足分别为c，f，d，ef交纵轴于点h，如图所示，则由ef为直角梯形的中位线知，|ef|＝＝5，所以eh＝ef－1＝5－1＝4，即ab的中点到y轴的距离等于4.
15．(2014·广东高考)曲线y＝－5ex＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为___
解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
16．过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为___
解：设p(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x－2，故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．①
(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0，②
又∵点(1，－1)在切线上，将②式和点(1，－1)代入①式，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
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