高二数学选修2-2测试题(含答案)
1、设复数，，则在复平面内对应的点在( )
a．第一象限 b．第二象限c．第三象限d．第四象限。
答案】d2、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数。有下列函数：
其中是一阶整点函数的是（ ）
abcd．①④
答案】d3、如图所示的程序框图运行的结果是。
a． b． c． d．
答案】b4、设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为。
答案】 aab
cd. 答案b
6、设函数的导函数为，且，则等于 (
ab． c． d．
答案b7、已知函数分别是二次函数和三次函数。
的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数，则（ ）
a． b．c． d．
答案】d8．已知函数（），设， ，若函数有四个零点，则的取值范围是。
a． b． c． d．
答案c9.函数的所有零点之和等于。
a）2 （b）4 （c）6 （d）8
答案cab.
cd. 答案 d
11选作题。 (1)已知曲线c的极坐标方程为，则曲线c上的点到直线为参数）的距离的最大值为。
2） 若a,b,c〉0，且，则的最小值为___4___
12 已知r上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 --
答案 13若，则最大值为答案2
14．直线与函数的图像有相异的三个公共点，则的取值范围
15．设函数的导数为，则数列的前项和是。
答案 14. 15.
16、定义在定义域d内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈d都有|f（x1）-f（x2）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x3-x+α（x∈[-1，1]，αr）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：新定义；转化思想．
分析：解：根据|f（x1）-f（x2）|＜f（x）max-f（x）min|，我们只要求得函数的最大值和最小值，看差的绝对值是否小于1即可，因为函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈r]是高次函数，所以用导数法来求其最大值和最小值即可．
解：因为|f（x1）-f（x2）|＜fmax-fmin|，函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈r]导数是f′（x）=3x2-1
当3x2-1=0时，即x=±，当0＜x＜时，f′（x）=3x2-1＜0，当x＞时，f′（x）=3x2-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-，同理，f（x）在[-1，0]内的极大值是a+，因为f（1）=f（-1）=a，所以函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈r]的最大值是a+，最小值是a-，故|f（x1）-f（x2）|＜fmax-fmin|=＜1
所以函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]，a∈r]是“妈祖函数”．
17、已知抛物线c：，过点a（0，0），b（2，0）分别作抛物线的切线l1,l2,ⅰ）求切线l1和l2的方程；（8分）（ⅱ求抛物线c与切线l1和l2所围成的面积s。（12分）
解：（1）y\=-2x+2 ,a(0,0),b(2,0)都在抛物线上，则k1=2，k2=-2，切线l1方程：y=2x, 切线l2方程：y=-2x+4
（2）由 p（1，2）解一：s=
答，抛物线c与切线l1和l2所围成的面积为。
18．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r(x)万元，且r(x)＝
1)写出年利润w(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
解 (1)当0w＝xr(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，w＝xr(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
w＝2)①当0由w′＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，w′>0；
当x∈(9,10)时，w′<0，当x＝9时，w取最大值，且wmax＝8.1×9－·93－10＝38.6.
当x>10时，w＝98－≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，w＝38，故当x＝时，w取最大值38.
综合①②知当x＝9时，w取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
19设曲线y＝＋bx2＋cx在点处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0.对一切实数x，不等式x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立(a≠0)．
1) 求k(1)的值；
2) 求函数k(x)的表达式；
3) 求证：＋＋
解析：(1)由x≤k(x)≤(x2＋1)得1≤k(1)≤1，所以k(1)＝1.
2)k(x)＝y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由。
k(1)＝1，k(－1)＝0得。
a＋c＝，b＝.
又x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立，则由。
ax2－x＋c≥0(a≠0)恒成立得。
a＝c＝，同理由(－a)x2＋x＋－c≥0恒成立，也可得：
a＝c＝.综上a＝c＝，b＝，所以k(x)＝x2＋x＋.
3)证明：法一(分析法)：
k(n)＝＝
要证原不等式成立，即证＋＋…
因为》＝－所以＋＋…
所以＋＋…法二：(数学归纳法)
由k(n)＝＝
当n＝1时，左边＝1，右边＝，左边》右边，所以n＝1，不等式成立．
假设当n＝m(m∈n*，且m≥1)时，不等式成立，即。
当n＝m＋1时，左边＝＋＋
由－＝>0
所以＋＋…即当n＝m＋1时，不等式也成立．
综上得＋＋…
20．已知函数f (x) =ax3 + bx2+ cx + d (a、b、cr)，且函数f (x)的图象关于原点对称，其图象x = 3处的切线方程为8x – y – 18 = 0．
（1）求f (x)的解析式；
（2）是否存在区间[a，b]，使得函数f (x)的定义域和值域为[a，b]？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，则说明理由；
（3）若数列满足：a1≥1，an + 1≥(an + 1)，试比较与1的大小关系，并说明理由．
解：（1）∵f (x)的图象关于原点对称，∴f (–x) +f (x) =0恒成立，即2bx2 + 2d ≡0，∴b = d = 0．
又f (x)的图象在x = 3处的切线方程为8x – y – 18 = 0，即y – 6 = 8(x – 3)，(3) =8，且f (3) =6．
而f (x) =ax3 + cx，∴ x) =3ax2 + c．
解得，故所求的解析式为f (x) =
（2）由解得x = 0或x =
又由(x) =0，得x = 1，且当x或x时， (x) >0；
当x (–1，1)时， (x) <0．
所以，函数f (x)在[–，1] 和 [1，]上分别递增；在[– 1，1]上递减．
于是，函数f (x)在[–，上的极大值和极小值分别为。
f (–1) =f (1) =
而–< 故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间为[–，
（3）由（2）知(x) =x2 – 1，所以，有an + 1≥(an + 1)2 – 1．
而函数y = x + 1)2 – 1 = x2 + 2x在上单调递增，所以，由a1≥1，可知a2≥(a1 + 1)2 – 1≥22 – 1；
进而可得a3≥(a2 + 1)2 – 1≥23 – 1；…
由此猜想an≥2n – 1．
下列用数学归纳法给出证明：
①当n = 1时，a1≥1 = 21 – 1，结论成立．
假设n = k时有ak≥2k – 1，则当n = k + 1时，由于函数f (x) =x2 + 2x在上递增，可知，ak + 1≥(ak + 1)2 – 1≥(2k – 1 + 1)2 – 1 = 22k – 1≥2k + 1 – 1，即n = k + 1时，结论也成立．
所以，对任意的nn*都有an≥2n – 1，即1 + an≥2n，
从而≤，故有< 1．
21、设函数．
ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
ⅱ）当时，求函数的单调区间；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使≥成立，求实数b的取值范围。
解析】函数的定义域为2分）
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