同学们，转眼间一个学期结束了，我们迎来了愉快的寒假生活，但对于我们初三的同学而言，这也意味着同学们距离人生的又一个重要的“战役”——中考更近了。在初三的第一学期我们学习了相似三角形、锐角三角比、二次函数这三块知识点，这些知识点不仅是我们整个初中学习生活的重点和难点，同时也是每年中考数学试卷占大比重的必考知识点，尤其是相似三角形、二次函数知识点的综合那更是压轴题的不二人选，希望同学们在放飞心灵的同时，不如正好也利用这个难得的假期我们来个温故而知新，为我们的中考数学厚积薄发。
一、注重基础，灵活运用：相似三角形中比例线段的考察：
例1、直线、、分别交直线，于点，交直线于点，且∥∥，已知ef：df=5:8，ac=24
1)求的长； (2)当ad=4，be=1时，求cf的长。
分析：比例线段虽然是我们形式三角形中的基本知识点，但是它的图形的灵活变化以及其中的线段比也时常隐藏着小陷阱，容易让我们产生迷惑、犯错。
解：（1）∵∥ef：df=5:8
∵ac=24，即bc=15
ab=24-15=9
2）如图，过点a作an∥，交于m，交于n，易得：ad=em=fn=4
∵ad=4，be=1
bm=3∥，ef：df=5:8，即cn=8
cf=cn-fn=4
说明：第1小题是常规的方法，而第2小题才是本题出彩之处，在这个图形中不能直接利用ad、be、cf来构造比例线段，这个知识点要清晰，而是需要通过添加平行线来够着比例线段中的基本图形“a”形来解题。
试一试：如图，梯形abcd中，ad∥bc，点是边ad的中点，连结be交ac于点，be的延长线交cd的延长线于点g
1）求证2）若，．求线段的长（ef=1）
二、典型例题，熟练运用：相似三角形中常见的 “两次相似”的考察。
例2、在rt△abc中， ∠acb=90°, cd⊥ab，垂足为d，e、f分别是ac、bc边上一点，且，
(1 )求证2 )求∠edf的度数。
分析：在相似三角形的考察中，当题目**现两个小题时，大多数的时候我们的思路会是利用三角形相似来完成第1小题，并在第1小题结论的基础上我们顺势再次运用三角形相似来完成第2小题的问题。
证明：（1）∵∠acb=90°, cd⊥ab
acd=∠abc
△acd∽△cbd
acd=∠abc
△ecd∽△fbd，即∠edc=∠fdb
∠cdf+∠fdb=90°
∠cdf+∠edc=90°，即∠edf=90°
说明：本题求∠edf的度数，其实也可以说是证明de⊥df，这是我们在相似三角形的考察中的又一个基本点，思路就是：利用相似三角形对应角相等的特性来转换角，从而解题。
试一试：已知：如图，在△abc中，∠ade =∠b，∠bac = dae．
1）求证2）当∠bac = 90°时，求证：ec⊥bc．
三、数形结合，综合运用：
1）、二次函数和相似三角形：
例3、已知直线与x轴交于点a，与y轴交于点b，将△aob绕点o顺时针旋转90°，使点a落在点c，点b落在点d，抛物线过点a、d、c，其对称轴与直线ab交于点p，1）求抛物线的表达式；
2）点m在x轴上，且△abm与△apd相似，求点m的坐标。
分析：一般而言在考察二次函数的题目中，通过已知三点求二次函数解析式是常见考法。而把相似三角形融入二次函数题目，要注意的是这类题通常是要分类讨论。
解：（1）由题意得a（-2,0），b（0,1）
△aob旋转至△cod， ∴c（0,2），d（1,0
二次函数过点a、d、c， 解得： 即抛物线是。
2）∵点m在x轴上，且△abm与△apd相似，∴点m必在点a的右侧。
抛物线的对称轴为直线x= ∴p（，）
∠a=∠a，∴或。
ap=，ad=3，ab=
am=4或am=
m（2,0）或（，0）
说明：关于本题第2小题的△abm与△apd相似的问题，需要注意的是：通常情况下这类相似三角形中我们可以先寻找这对三角形中相等一组对应角，这组对应角可能是特殊角°等，或是可以从三角形中固定不动的两条边所组成的角中寻找，在确定相等的对应角前提下，再把角的两边比进行分类讨论即可。
2）、二次函数和锐角三角比：
例4、已知平面直角坐标系，抛物线经过点、
1）求该抛物线顶点的坐标2）求的值；
分析：计算锐角三角比的时候，记住我们的前提：直角三角形。
解：（1）顶点p
2）如图： 作pd⊥y轴，pe⊥ac
∵、，p，d（-2,0）
ac=，ap=
s△apc=s梯apdo-s△aoc=
pe=在rt△ape中利用勾股定理得：ae=
说明：本题中计算的方法还有多种，但在这里我们要介绍的是一种基本的思路：在计算锐角三角形时，先寻找角所在的直角三角形，没有现成的则可以用“勾股定理逆定理”来判断所在三角形是否为直角三角形，若不是则可通过“做高”来获得直角三角形，然后再利用面积来计算“高”，从而找到一条打开局面的常规方法。
试一试：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点a在点b的左侧），点b的坐标为，与轴交于点，顶点为d
1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标 ，顶点d（2，-1））
2）联结ac，bc，求 （）
3）点p是抛物线的对称轴上一点，当与相似时。
求点p的坐标 （p（2，）或p（2,2））
初三数学寒假复习之我见
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初三数学寒假复习
1 下列等式成立的是 a 2 b c d a b a b 2 下列关于x的方程一定有实数解的是 a 2x m b x2 m c m d m 3 下列函数中，图象经过第二象限的是 a y 2x b y c y x 2 d y x2 2 4 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 a 正五边形 b...