初二培尖数学测试题

1．(2024年·齐齐哈尔) 在rt△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac＝2．以ac为一边，在△abc外部作等腰直角△acd，则线段bd的长为。

2.将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是。

3.如图，点o是等边△abc内一点，∠aob=110°，∠boc=α．将△boc绕点c按顺时针方向旋转60°得到△adc，连接od．

1）求证：△cod是等边三角形；

2）当α=150°时，试判断△aod的形状，并说明理由；

3）**：当α为多少度时，△aod是等腰三角形？

4.如右图，△abc中，ab=ac，∠bac=90°，直角∠epf的顶点p是bc中点，两边pe、pf分别交ab、ac于点e、f，给出以下五个结论：①ae=cf；②∠ape=∠cpf；③△epf是等腰直角三角形；④ef=ap；⑤s四边形aepf=s△abc，当∠epf在△abc内绕顶点p旋转时(点e不与a、b重合)，上述结论始终正确的序号有。

5.（7分）如图，△abc是等腰直角三角形，∠a=90°，点p、q分别是ab、ac上的一动点，且满足bp=aq，d是bc的中点．

1）求证：△pdq是等腰直角三角形．

2）当点p运动到什么位置时，四边形apdq是正方形，并说明理由．

6.正方形abcd中，点o是对角线ac中点，p是对角线ac上一动点，过点p作pf⊥cd于点f，如图甲，当点p与点o重合时，显然有df=cf。

1）如图乙，若点p**段ao上（不与点a、o重合），pe⊥pb且pe交cd于点e，说明df=ef；

猜想pc、pa、ce之间的等量关系式，并充分说明理由。

2）若点p**段oc上（不与o、c重合），作pe⊥pb且pe交直线cd于点e，请在图丙中完成作图，并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若成立，请你写出相应的正确结论。（本小题所写的结论不必说明理由）

7.如图所示，在菱形abcd中，ab=4，∠bad=120°，△aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bc、cd上滑动，且e、f不与b、c、d重合．

1）证明不论e、f在bc、cd上如何滑动，总有be=cf；

2）当点e、f在bc、cd上滑动时，分别**四边形aecf和△cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值。

8.在平面直角坐标系中，矩形oacb的顶点o在坐标原点，顶点a、b分别在x轴、y轴的正半轴上，oa=3，ob=4，d为边ob的中点。

ⅰ）若e为边oa上的一个动点，当△cde的周长最小时，求点e的坐标；

ⅱ）若e、f为边oa上的两个动点，且ef=2，当四边形cdef的周长最小时，求点e、f的坐标。

9.（1）操作发现：如图，矩形abcd中，e是ad的中点，将△abe沿be折叠后得到△gbe，且点g在矩形abcd内部．小明将bg延长交dc于点f，认为gf=df，你同意吗？

说明理由．

2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若dc=2df，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若dc=ndf，求的值．

10.如图所示，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为（3，0），（0，1），点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线y=﹣x+b交折线oab于点e．

1）记△ode的面积为s，求s与b的函数关系式；

2）当点e**段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形o1a1b1c1，试**o1a1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

11.如图，菱形abcd的边长为2，bd=2，e、f分别是边ad，cd上的两个动点，且满足ae+cf=2.

1）求证：△bde≌△bcf

2）判断△bef的形状，并说明理由；

3）设△bef的面积为s，求s的取值范围。

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