湖南省衡阳县第六中学高三2024年元旦假期数学。
针对性训练文科试卷（答案）
1、选择题：本大题共29小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2、填空题：本大题共１７小题，把正确答案填在题中的横线上．
30． 31． 32． 33． 34 35． 36．或 37． 38． 39． 40． 41． 42． 43． 44．
三、解答题：本大题共六小题，共计75分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
47．已知函数．
求函数的定义域；
讨论函数的单调性．
解：⑴当时，定义域是，当时，定义域是；
当时，在上是增函数，当时，在上是减函数．
48．已知函数，若函数为奇函数，求的值；
若在内有意义，求的取值范围；
在⑵的条件下，判断并证明函数的单调性．
解：⑴函数定义域为，用定义法证得在上是减函数．
49．已知定义在上的奇函数，当时，．
求在上的解析式；
试用函数单调性的定义证明：在上是减函数；
要使方程在上恒有实数解，求实数的取值范围．
解：⑴；证明略；
易证明是上的减函数，所以，即为的取值范围．
50．在四棱锥中，，，是的中点；
1）求证：；
2）求证：平面．
证明：（1）易证明面；
2）要证．51．在正四棱柱中，，为的中点；
证明：；证明：
证明：⑴连接，易证；
连接，根据勾股定理要证明，再由正四棱柱性质证得，所以有，所以，又同理可证，故．
52．在正方体中，为棱的中点；
求证：;求证：．
证明：⑴易证明，而，所以，故；
易证且，所以，故．
53．在棱长为的正方体中，为棱的中点；
求证：；求证：；
求三棱锥的体积．
证明及解答：⑴连接，易证，故可证；
因为，所以，所以，,而，所以；
连接，由．54．四棱锥的底面是菱形，，，为中点；
求直线与平面所成角的大小；
**段上是否存在一点，使成立，如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由．
解：⑴连接交于，易证，再连接，则为在平面上的射影，所以即为与平面所成角，在中，，所以；
过点作，则由证得，又，所以，所以，所以．因与相似，所以，所以，，所以，**段上存在一点，当时使成立．
55．已知关于的方程两根为；
求的值；求的值．
解：⑴；原式．
56．已知向量；
当时，求的值的集合；
设函数，求函数的最小正周期；
求函数的单调递增区间；
求函数的图象的对称轴方程．
解：⑴的值的集合是；
的最小正周期为；
的单调递增区间为；
的图象的对称轴方程为．
57．已知数列为等差数列，公差，的部分项组成的数列恰为等比数列，其中， 求的值．
解：设数列的首项是，公比为，且，所以，所以．故．
58．已知，等差数列中，；
求通项；求的值．解：⑴或；
59．已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项．
求数列和的通项公式；
设数列对任意的正整数，均有，求的值．
解：⑴当时，，当时，，所以有，60．设各项均为正数的数列的前项和为，对任意的正整数都有等式成立．
求证： 求数列的通项公式；
求数列的前项和．
解：⑴当时，，当时，．所以，当时，上式也成立；
当时，，从而有。
因，所以．所以数列是等差数列，其中首项是，公差为的的等差数列．
所以。由于，故其和为．
61．对于数列，定义，若数列的通项公式，求的通项公式；
若数列首项是，且满足。
证明数列为等差数列；
求数列的前项和．
解：⑴①证明：由得，所以，故数列为等差数列，其中首项是，公差是；
由①知，，由错位相减法可得．
62．已知函数，且是奇函数．
求、的值；求函数极值；
若函数与轴有三个交点，求的取值范围．
解：⑴由⑴知，所以．当此时单调递增，无极值．当时，由得，列表研究函数单调性及单调区间可得：
依题意可得，．解得：．
63．已知在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．
求的值；是否存在正整数，使得不等式在上恒成立？如果存在，求出最小的正整数；如果不存在请说明理由．
解：⑴令，得，列表研究函数单调性及单调区间可得，当时，，要使不等式在上恒成立，只需，故最小的正整数为．
64．设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
解：⑴;是等差数列，．
65．已知函数， ,集合，当时，记集合，若，求实数的取值范围；
若，当时，求函数的单调区间与极值．
解：⑴;因为，所以，令得或．可以证明在区间和上增函数，在区间上是减函数．故在处有极大值，在处有极小值．
请同学们认真校对答案，掌握本试卷的题型，寒假期间再多温习本试卷！！
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