函数。1、考点、热点回顾。
一） 映射与函数。
1.映射：指两个元素集之间元素相互“对应”的关系。
一一映射：在集合论中，一个由集合x至集合y的映射称为双射的，若对集合y内的任意元素y，存在唯一一个集合x内的元素x，使得 y = f(x)。若两集合间的元素满足一一对应，就叫做一一映射。
2.函数。函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数。
3.反函数。
反函数的定义。
设函数的值域是c，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在c中的任何一个值，通过x=(y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yc)叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成。
二）函数的性质。
1. 函数单调性：
定义：对于函数f(x)的定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1⑵若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
等价关系：1)设那么。
上是增函数；
上是减函数。
2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。
2. 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在r上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
1)、奇函数·偶函数=奇函数； (2)、奇函数·奇函数=偶函数；
3)、偶函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
3. 函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在t0，使得f（x+t）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，t是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+t）= f（x），此时周期为2t ；
(2)、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2 ；(3)、，此时周期为2m 。
三）指数函数与对数函数。
1.指数函数的图象和性质。
2.对数函数的图象和性质：
3. 分数指数幂与根式的性质：
1)（，且）.
2）（，且）.
4）当为奇数时，；当为偶数时，.
4. 指数式与对数式的互化式： .指数性质：
指数函数：1)、在定义域内是单调递增函数；
2）、在定义域内是单调递减函数。
注：指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
对数函数：
1)、在定义域内是单调递增函数；
2）、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
4)、或。5. 对数的换底公式 : 且， ,且，).
对数恒等式： (且，).
推论(,且，).
6. 对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，则。
4）二次函数与幂函数。
1． 二次函数的定义与解析式。
1)二次函数的定义。
形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫作二次函数．
2)二次函数解析式的三种形式。
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2． 二次函数的图像和性质。
3. 幂函数。
形如y＝xα (r)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
4． 幂函数的图像及性质。
1)幂函数的图像比较。
2)幂函数的性质比较。
5）补充。1.对于函数(),恒成立，则函数的对称轴是；两个函数与的图象关于直线对称。
2. 对称变换：①y = f（x）
y =f（x）
y =f（x）
3、函数图像移动。
函数图像移动准则：左加右减，上加下减。
函数自变量x的左右移动，是针对x变量而言，函数移动，先x的加减，再整理化简函数。
函数自变量y的上下移动，是针对函数等号右侧加减移动单位而言。
4．函数的零点与方程的根。
1)函数的零点。
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
2)函数的零点与方程根的关系。
函数f(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
3)零点存在性定理。
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意以下两点：
满足条件的零点可能不唯一；
不满足条件时，也可能有零点．
4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
5、最值。一般地，设函数y＝f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：
对于任意的x∈i，都有f(x)≤m (或f(x)≥m)；
存在x0∈i，使f(x0)＝m，那么称m是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
六）函数图像移动。
函数图像移动准则：左加右减，上加下减。
函数自变量x的左右移动，是针对x变量而言，函数移动，先x的加减，再整理化简函数。
函数自变量y的上下移动，是针对函数等号右侧加减移动单位而言。
七）方法总结。
.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同。
.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法。
.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域。
常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等。
.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法。
.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f(x)与f(x)的大小；③作差比较或作商比较。
.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：
①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x) /f(-x)=-1为奇函数。
.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象。
二、典型例题。
1．函数是偶函数，则函数的对称轴是（ d ）
a． b． c． d．
2．已知，则函数的图象不经过（ a ）
a．第一象限 b．第二象限 c． 第三象限 d． 第四象限。
3．函数的零点必定位于区间（ b ）
a．(1,2) b．(2,3) c．(3,4) d．(4,5)
4．给出四个命题：
1）当时，的图象是一条直线；
2）幂函数图象都经过（0，1）、（1，1）两点；
3）幂函数图象不可能出现在第四象限；
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