课时作业7 指数与指数函数。
一、选择题。
1．(2014·河北唐山二模)已知函数f(x)＝，若f(a)＝－则f(－a)＝(
a. b．－
c. d．－
解析：∵f(x)＝，f(a)＝－
f(－a)＝＝
答案：a2．(2015·成都七中期中)若函数f(x)＝，其定义域为(－∞1]，则a的取值范围是( )
a．a＝－ b．a≥－
c．a≤－ d．－≤a＜0
答案：a3．(2015·广东四校联考)已知loga＞1， b＞1,2c＝，则( )
a．a＞b＞c b．c＞a＞b
c．a＞c＞b d．c＞b＞a
解析：∵loga＞10＜a＜， b＞1b＜0,2c＝＞＝2c＞，∴c＞a＞b.
答案：b4．(2015·福建五校联考)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )abcd
解析：因为当x≤0时，2x≤1；
当x＞0时，2x＞1.
则f(x)＝1⊕2x＝故选a.
答案：a5．(2014·陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
a．f(x)＝x3 b．f(x)＝3x
c．f(x)＝x d．f(x)＝x
解析：把握和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选b.
答案：b6．(2014·北京东城期末)已知函数f(x)＝若f(x)≥kx，则k的取值范围是( )
a．(－0] b．(－5]
c．(0,5] d．[0,5]
解析：当x≥0时，x2＋5x≥kx.
当x＝0时，不等式显然成立；
当x≠0时，k≤x＋5，因为(x＋5)min＝5，所以k≤5.
当x＜0时，－ex＋1≥kx，即ex≤－kx＋1，由数形结合(图略)可知－k≤0，即k≥0，综上可知0≤k≤5.
答案：d二、填空题。
7．(2015·山东威海期中)化简求值：(×6＋()lg500－lg0.5
解析：(×6＋()lg500－lg0.5
(2×3)6＋(2)＋lg
(22×33)＋2＋lg1 000＝108＋2＋3＝113.
答案：113
8．(2015·江苏南通期末)函数f(x)＝x2－2x的值域为。
解析：令t＝x2－2x，则有y＝t，根据二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数y＝x的图象可得0＜y≤－1，即0＜y≤4.
答案：(0,4]
9．已知loga＞0，若ax2＋2x－4≤，则实数x的取值范围为。
解析：由loga＞0得0＜a＜1.由a x2＋2x－4≤
得a x2＋2x－4≤a－1，x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3，或x≥1.
答案：(－3]∪[1，＋∞
三、解答题。
10．已知函数f(x)＝2x－.
1)若f(x)＝2，求x的值；
2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)当x＜0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件，可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.
2x＞0，∴2x＝1＋.
x＝log2(1＋)．
2)当t∈[1,2]时，2t(22t－)＋m(2t－)≥0，即m(22t－1)≥－24t－1)．
t∈[1,2]，∴22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．
t∈[1,2]，∴1＋22t)∈[17，－5]．
故m的取值范围是[－5，＋∞
11．(2015·山东济南期末)已知函数f(x)＝是r上的奇函数．
1)求m的值；
2)设g(x)＝2x＋1－a.若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．
解析：(1)由函数f(x)是r上的奇函数可知，f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1.
2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．
即方程＝2x＋1－a至少有一个实根，方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根．
令t＝2x＞0，则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根．
令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1＞0，所以只需解得a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞
12．(2015·潍坊联考)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝－a∈r)．
1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝－4x－a·2x.
f(－x)＝－f(x)，f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]，g(t)＝a·t－t2＝－2＋.
当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；
当1＜＜2，即2＜a＜4时，g(t)max＝g＝；
当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4；
综上所述，当a≤2时，f(x)最大值为a－1，当2＜a＜4时，f(x)最大值为，当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.
2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，f′(x)＝aln2·2x－ln4·4x＝2xln2(a－2·2x)≥0，a－2·2x≥0恒成立，即a≥2·2x，2x∈[1,2]，a≥4.
即a的取值范围是[4，＋∞
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