魔方爱好者等级：
一级：能恢复一层；☆
二级：能恢复两层；☆☆
**：能恢复三层；☆☆
魔方的转动及其特点。
循环：是魔方最基本的特性，任意的操作序列如果周期性地操作魔方，都可以实现循环。为方便起见，我们约定魔方从原始状态，经过操作序列操作c次后，魔方又回到原始状态。
魔方原始状态。
魔方坐标系。
魔方特征点。
方位坐标系。
例如，为了某边块的复位，操作序列可能要求按w（+z）、r（+x）、y（+y）方式把魔方置于方位坐标系，即心块w向着z轴的正方向，心块r向着x轴的正方向，心块y向着y轴的正方向。
为了另一个角块的复位，操作序列可能要求按b（+z）、r（+x）、w（+y）方式把魔方置于方位坐标系。魔方一旦以某种方式置于方位坐标系中，坐标系的6个方位就和魔方的6个转层一一对应起来了，这种对应关系要维持到一个操作序列全部完成，即把一个小块复位。
魔方复位方法。
对于一个搅乱了的魔方，经过简单的旋转，我们可以先恢复一个面（不是一层），这个面称为参考面，参考面所在的层称为参考层，和参考面垂直的4个面称为侧面，剩下的一个面就是底面。我们约定参考面应该是向上的。
右手规则和左手规则。
坐落在方位坐标系正方向（x，y，z）的面为乾面，转动正方向满足右手规则；坐落在方位坐标系负方向（-x，-y，-z）的面为坤面，转动正方向满足左手规则。
在操作中，转轴为x、y、z时，右手正方向转动；转轴为-x、-y、-z时，左手正方向转动。
转角。转角1表示90°，转角2表示180°，转角3表示270°。
复原顺序是上边位、上角位、中边位、底角位、底边位。
7.3.1 上边位。
对准位：如图7.27，图7.27 上边位操作与方位。
上边位①是一个对准位。经过转动参考层，必有一个边位上的边块侧面颜色能和某面心块颜色一致，把这个位叫做对准位，置于方位坐标系的-y方向。已经复位的上边位都是对准位。
考查位：如图7.27，上边位②是考查位。
把要复原的边位，如边位②，置于方位坐标系的x方向，-y方向必须是对准位。考查位就是本次操作要复原的位。确定考查位后，根据错位类型选择操作。
其它上边位依次类推。
相邻错位：相对考查位②，要找的边块在边位③。
对边错位：相对考查位②，要找的边块在边位④。
表7-5 相邻错位复位操作。
左接上表。表7-6 对边错位复位操作。
7.3.2 上角位。
考查位：如图7.28，上边位①是考查位，被置于方位坐标系的oxyz卦限。凡是要复原的上角位，都必须置于这个卦限。
图7.28 上角位操作与方位。
左邻错位：相对考查位①，要找的角块在角位④。
后邻错位：相对考查位①，要找的角块在角位②。
对角错位：相对考查位①，要找的角块在角位③。
表7-7 左邻错位复位操作。
表7-8 后邻错位复位操作。
表7-9 对角错位复位操作。
7.3.3 中边位。
参考角块：如图7.29和图7.30，在oxyz卦限的角块称为参考角块。
考查位：参考角块下面的中边位是考查位，如图7.29和图7.30。
共轭位：参考角块除上色面外，还有两个侧色面，其颜色和要找的边块相同。如果这个边块处于底层时，底层有这样一个位置，使得这个边块的一个色面和参考角块的一个色面同侧同色。
我们把这个位置称为参考角块的共轭位。
图7.29 前邻共轭。
图7.30 右邻共轭。
表7-10 前邻共轭复位操作。
表7-11 右邻共轭复位操作。
调出操作：如果要找的边块不在底层，那么，这个边块必定在某一中边位。把这个边块从中边位调到底层的操作称为调出操作。调出操作的考查位如图7.31所示。
图7.31 调出操作与方位。
表7-12 调出操作。
至此，魔方的第一层和第二层已经被复位，如图7.32(a)，现在只剩下第三层，即底层没有复位。为了叙述方便，在复位第三层时，我们将魔方倒置过来，即将错位的底层翻到顶部，如图7.
32(b)。为了叙述的连贯性，我们仍将处于图7.32(b)顶层错位的角块和边块称为底角块和底边块。
此外，底角块和底边块的块位和色位的复位也可以参看第六章的魔方状态函数。
ab）图7.32 魔方上下倒置。
7.3.4 底角块位。
本节讨论底角块位的三种错位情况：两两相邻错位，两两对角错位，三角错位。其它形式的块位错位可参见第六章的魔方函数。
两两相邻错位：如图7.33所示，如果角块①和角块②换位，角块③和角块④换位，则称为两两相邻错位。图7.34 是两两相邻错位的例子，复位操作使用表7-13的操作序列。
两两对角错位：如图7.33所示，如果角块①和角块③换位，角块②和角块④换位，则称为两两对角错位。图7.35是两两对角错位举例，复位操作使用表7-14的操作序列。
图7.33 底角块位操作与方位。
三角错位：如图7.33所示，如果角块①、角块②和角块③置换换位，则称为三角错位。
如果按顺时针方向置换三个角块可以使它们复位，则称为顺时针三角错位，如图7.36所示；如果按逆时针方向置换三个角块可以使它们复位，则称为逆时针三角错位，如图7.37所示。
两种错位类型可以使用同一个操作，即表7-15的操作序列。对于顺时针方向的错位，操作一次；对于逆时针方向的错位，则需要操作两次。
图7.34 两两相邻错位举例。
图7.35 两两对角错位举例。
图7.36 顺时针三角形错位举例。
图7.37 逆时针三角形错位举例。
表7-13 两两相邻错位复位操作。
表7-14 两两对角错位复位操作。
表7-15 三角错位复位操作。
7.3.5 底角色位。
底角色位的错位有三种情况：相邻错位，对角错位和三角错位。
相邻错位：如图7.38所示，如果角块①和角块②的色位错位，则称为相邻错位。
如果按顺时针方向将角块①转动120°和逆时针方向将角块②转动120°可以使它们复位，则称为a类相邻错位，如图7.39所示；如果按逆时针方向将角块①转动120°和顺时针方向将角块②转动120°可以使它们复位，则称为b类相邻错位，如图7.40所示。
两种错位类型可以使用同一操作，即表7-16的操作序列。对于a类错位，操作一次；对于b类错位，则需要操作两次。
对角错位：如图7.38所示，如果角块①和角块③的色位错位，则称为对角错位。
如果按顺时针方向将角块①转动120°和逆时针方向将角块②转动120°可以使它们复位，则称为a类对角错位，如图7.41所示；如果按逆时针方向将角块①转动120°和顺时针方向将角块②转动120°可以使它们复位，则称为b类对角错位，如图7.42所示。
两种错位类型可以使用同一操作，即表7-17的操作序列。对于a类错位，操作一次；对于b类错位，则需要操作两次。
三角错位：如图7.38所示，如果角块①、角块②和角块③的色位错位，则称为三角错位。
如果按顺时针方向转动三个角块各120°可以使它们复位，则称为顺时针三角错位，如图7.43所示；如果按逆时针方向转动三个角块各120°可以使它们复位，则称为逆时针三角错位，如图7.44所示。
两种错位类型可以使用同一个操作，即表7-18的操作序列。对于顺时针方向的错位，操作一次；对于逆时针方向的错位，则需要操作两次。
图7.38 底角色位操作与方位。
图7.39 a类相邻错位举例。
图7.40 b类相邻错位举例。
表7-16 相邻错位复位操作。
图7.41 a类对角错位举例。
表7-17 对角错位复位操作。
图7.42 b类对角错位举例。
图7.43 顺时针三角错位举例。
图7.44 逆时针三角错位举例。
表7-18 三角错位复位操作。
7.3.6 底边块位。
本节讨论底边块位错位的三种情况：两两相邻错位，两两对边错位，三角错位。其它形式的块位错位参见第六章的魔方函数。
两两相邻错位：如图7.45所示，如果边块①和边块②换位，边块③和边块④换位，则称为两两相邻错位。图7.46是两两相邻错位的例子，复位操作使用表7-19的操作序列。
图7.45 底边块位操作与方位。
表7-19 两两相邻错位复位操作。
图7.46 两两相邻错位。
两两对边错位：如图7.45所示，如果边块①和边块③换位，边块②和边块④换位，则称为两两对边错位。图7.47是两两对边错位的例子，复位操作使用表7-20的操作序列。
图7.47 两两对边错位举例。
表7-20 两两对边错位复位操作。
三角错位：如图7.45所示，如果边块①、边块②、边块③置换换位，则称为三角错位。
如果按顺时针方向置换三个边块可以使它们复位，则称为顺时针三角错位，如图7.48所示；如果按逆时针方向置换三个边块可以使它们复位，则称为逆时针三角错位，如图7.49所示。
两种错位类型可以使用同一个操作序列，即表7-21的操作序列。对于顺时针方向的错位，操作一次；对于逆时针方向的错位，则需要操作两次。
图7.48 顺时针三角错位举例。
图7.49 逆时针三角错位举例。
表7-21 三角错位复位操作。
7.3.7 底边色位。
魔方和数学建模
魔方和晶体学符号。魔方具有晶体的本质特征 对称性和周期性，因此，晶体学的空间符号可以描述魔方。3.3.1 晶向指数。在晶体学中，线和面的方向一般使用三个数表示，被称为晶向指数。简单而言，晶向指数可以用一个矢量在坐标轴上的三个分量来表示。如图3.15，立方体的边长等于2个单位，图中a b c点和o点构...
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