魔方和晶体学符号。
魔方具有晶体的本质特征—对称性和周期性，因此，晶体学的空间符号可以描述魔方。
3.3.1 晶向指数。
在晶体学中，线和面的方向一般使用三个数表示，被称为晶向指数。简单而言，晶向指数可以用一个矢量在坐标轴上的三个分量来表示。如图3.
15，立方体的边长等于2个单位，图中a、b、c点和o点构成的矢量为：
式中i、j、k分别为沿x、y、z轴的单位矢量。将式(3-1)用矢量的投影分量来表示，就是， (3-2)
图3.15 晶体学方向的表示。
晶体学中把用式(3-2)所表示的方向称为晶向，并把括弧中的数字称为晶向指数。
3.3.2 魔方的方向指数。
借助晶向指数概念来描述魔方，既简洁又方便。前面曾定义过角块、边块和心块的特征点。过魔方中心到特征点的向量就是魔方小块的特征向量，特征向量在坐标轴的三个分量就是该小块的方向指数，称为魔方的方向指数。
如图3.16所示，在魔方的各特征点都标出了该小块的方向指数。
图3.16 魔方的方向指数。
如果图3.16中的魔方是一个标准魔方，则可以给出魔方各小块的特征名称和方向指数，而且小块的特征名称和方向指数一一对应。
1）心块的特征名称和方向指数。
r，y，w，g，b，s。
2）角块的特征名称和方向指数。
ryw，rys，gyw，gys，gbw，gbs，rbw，rbs。
3）边块的特征名称和方向指数。
rw，gb，yw，rb，gw，rs，bw，ys，ry，gs，gy，bs。
晶体学把具有相同对称性的晶向指数称为晶向族，并且用<>表示。对于魔方，小块的类型就是对称性的标志，因此，小块的名称便自然地定义了方向族的概念。例如，心块的6个方向指数构成一族，表示为<001>；角块的8个方向指数构成一族，表示为<111>；边块的12个方向指数构成一族，表示为<110>。
魔方方向指数巧妙地描述了小块在魔方中所处的空间位置。魔方方向指数在描述魔方的对称性时也是非常有用的。
3.3.3 魔方的对称性。
a） （b） （c）
图3.17 转动对称性。
我们这里讨论的对称性，是魔方的整体旋转对称性。如图3.17所示的图形，它们都是平行于纸面的平面图，其转轴位于o点并垂直纸面。
图(a)可以绕转轴转动°，而不改变图形的轮廓坐标。同样，图(b)可绕转轴转动°，图(c)可绕转轴转动°。这种绕转轴转动一定角度后和原来完全重复(轮廓坐标)的性质称为转动对称性。
我们把这种转动称为对称操作。 图(a)、图(b)、图(c)的最小转角分别为°。由于360°/90°=4，360°/180°=2，360°/120°=3，因此，我们称图(a)具有四次对称性，图(b)具有二次对称性，图(c)具有三次对称性。
魔方的整体对称性与小块的色面特征有一种巧妙的对应关系。
首先，魔方具有整体转动对称性。、、是魔方的四次转动轴，、、是魔方的二次转动轴，、、是魔方的三次转动轴。如图3.18所示，四次轴用表示，二次轴用表示，三次轴用表示。
图3.18 魔方的对称轴。
其次，魔方小块可以表征魔方所具有的对称性。角块具有三个色面，这三个色面可借助角块的方向指数通过转动而交换位置，每交换一次要转120°，因此，我们称角块具有三次色面对称性。边块具有两个色面，这两个色面每交换一次位置边块要转180°，我们称边块具有二次色面对称性。
心块虽然有这种对称性，但是对魔方的状态没有影响。
3.3.4 魔方转动的周期性。
魔方的任一操作序列，都是某一循环谱中的一段谱（见第七章）。因此，按任一操作序列去转动魔方，魔方态必然形成一个封闭的循环。例如，按w操作魔方，四转之后魔方复原，即wwww=w4=i，构成一个循环。
又如，按wr操作魔方，210转之后，魔方复原，即wrwrwr……wr=(wr)210=i，构成一个循环。还可以举出更多的例子。
可以肯定地讲，循环和周期是分不开的。魔方转动的循环特点，反映了魔方转动周期性的特点。魔方转动的周期性是与魔方的对称性有本质的联系。
正是魔方的对称性导致魔方转动的周期性。如，4转循环w4中，循环周期为4；210转循环(wr)105=i中，循环周期为105。
本章所定义的转动魔方的右手规则和左手规则，暗示操作魔方时需要用左手和右手。扭转是手生来就能乐于做的一种基本的运动，并且能赋予头脑一种真正的三维的锻炼。
8.1 魔方的阶和方向指数。
对于三阶魔方（见第三章），魔方的方向指数可以唯一地描述魔方所有小块的空间方位。，，定义了6个心块；，，定义了8个角块定义了12个边块。26个方向指数一一对应于魔方的26个小块，这就定义了这个魔方是的。
对于四阶和五阶魔方，方向指数的概念仍然适用，而且同样一一对应地描述了魔方的所有小块。
8.1.1 四阶魔方。
四阶魔方有16个可转动层，共有56个小块，可转动出种花样。
如图8.1是一个标注了方向指数的四阶魔方，从力学结构上看，四阶魔方没有固定不动的心块。但是在四阶魔方的每个面上的中心区域有4个小块，6个面共有24个这样的小块。
由图8.1可见，无论怎样转动魔方，这些小块都必然处于每个面的中心区域，我们称这些小块为面块。四阶魔方的每个面上有4个面块，共有24个面块。
此外，四阶魔方还有24个边块和8个角块。
图8.1 四阶魔方及其方向指数。
显然，四阶魔方共有56个小块，即24个面块，24个边块和8个角块。假设图8.1的四阶魔方是一个标准魔方，即颜色分布为前红（r）后绿（g）、左蓝（b）右黄（y）、上白（w）下黑（s）。
如果将这个四阶标准魔方按r（+x）、y（+y）、w（+z）方位置于方位坐标系中，那么，四阶魔方各小块的特征名称和方向指数定义如下。
1）24个面块。
r面（+x）：r，r，r，r；
y面（+y）：y，y，y，y；
w面（+z）：w，w，w，w；
g面（-x）：g，g，g，g；
b面（-y）：b，b，b，b；
s面（-z）：s，s，s，s；
2）24个边块。
平行于+x方向：yw，bw，ys，bs；
平行于-x方向：yw，bw，ys，bs；
平行于+y方向：rw，gw，rs，gs；
平行于-y方向：rw，gw，rs，gs；
平行于+z方向：ry，rb，gy，gb；
平行于-z方向：ry，rb，gy，gb；
3）8个角块。
ryw，gyw，rbw，rys；
rbs，gys，gbw，gbs；
四阶魔方角块的方向指数为<222>，与三阶魔方的<111>只差一个公约数，因此，<222>与<111>是完全等价的，只能演绎出8种情况。<222>和<111>描述的对称性也是完全一样的。边块的方向指数为<221>，不同于三阶魔方的<110>，<221>能演绎出24种情况，<110>只能演绎出12种情况。
因此，四阶魔方边块的对称性和三阶魔方的不同。换句话说，三阶魔方的边块有12个块位，而四阶魔方的边块有24个块位。四阶魔方的面块的方向指数为<211>，不同于三阶魔方的心块<100>，前者可演绎出24种情况，后者只能演绎出6种情况。
由于四阶魔方和三阶魔方的力学结构的差别，四阶魔方的面块可以运动，而三阶魔方的心块却不能运动。
8.1.2 五阶魔方。
五阶魔方三个方向有25层，但是，每个方向只有4个可转动层，共有98个小块，可转动出种花样。
五阶魔方和三阶魔方相似，有6个固定不动的心块，同样，有8个角块。此外，五阶魔方具有两类面块和两类边块，其中一类和四阶魔方的一样，称为第一类面块和第一类边块。
经过简单计算可知，五阶魔方共有98个小块，其中心块6个，第一类面块24个，第二类面块24个，第一类边块24个，第二类边块12个，角块8个。假设图8.2的五阶魔方是一个标准魔方，即颜色分布为前红（r）后绿（g）、左蓝（b）右黄（y）、上白（w）下黑（s）。
如果将这个五阶标准魔方按r（+x）、y（+y）、w（+z）取向置于方位坐标系中，那么，五阶魔方各小块的特征名称和方向指数定义如下。
图8.2 五阶魔方及其方向指数。
1）6个心块。
r，y ，w，g，b，s
2）24个第一类面块。
r面（+x）：r，r，r，r；
y面（+y）：y，y，y，y；
w面（+z）：w，w，w，w；
g面（-x）：g，g，g，g；
b面（-y）：b，b，b，b；
s面（-z）：s，s，s，s；
3）24个第二类面块。
r面（+x）：r，r，r，r；
y面（+y）：y，y，y，y；
w面（+z）：w，w，w，w；
g面（-x）：g，g，g，g；
b面（-y）：b，b，b，b；
s面（-z）：s，s，s，s；
4）24个第一类边块。
平行于+x方向：yw，bw，ys，bs；
平行于-x方向：yw，bw，ys，bs；
平行于+y方向：rw，gw，rs，gs；
平行于-y方向：rw，gw，rs，gs；
平行于+z方向：ry，rb，gy，gb；
平行于-z方向：ry，rb，gy，gb；
5）12个第二类边块。
平行于x方向：yw，bw，ys，bs；
平行于y方向：rw，gw，rs，gs；
平行于z方向：ry，gy，rb，gb；
6）8个角块。
ryw，gyw，rbw，rys；
rbs，gys，gbw，gbs；
8.1.3 n阶魔方问题。
从现实的力学结构来说，不可能制造出四维魔方。从阶数来讲，低阶方向有一个极限，因此，魔方只能向高阶方向发展。虽然魔方的变种层出不穷，但是从对称性来讲，它们属于另一个范畴。
本小节简单讨论n阶魔方的几个问题。显然，魔方每个方向有n层，共有小块数量为。
根据上式，不难验证，魔方的小块数=26；魔方的小块数=56；魔方的小块数=98。
对于一个确定阶数n的魔方，魔方小块由式（8-1）计算。
n阶魔方小块的方向指数可以如下确定：
当n为奇数时，最大的方向指数和最小的方向指数分别为。
当n为偶数时，最大的方向指数和最小的方向指数分别为。
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