1、 录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒。我们从0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像机目前的计数为1428，问是否还能录下一个 60分钟的节目？
解答：由t=an2 + bn,此时我们有数据：
所以得方程组： 185.33=a18492 +b1849
x=a802 +b84
x+3.35=a1472+b147
解三个方程组，得出 a=0.0000291, b=0.04646
所以t与n的函数关系为：t=0.0000291n2+0.04646n
把n=1428代入函数关系，得t=125.69min
所以录像带的剩余时长t1=185.33-125.69=59.64min<60min
不能录下一个60min的节目。
毕。2、学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍，学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
1）按比例分配取整数的名额后，乘下的名额按惯例分给小数部分较大者。
2）q值方法。
3）d‘hondt方法：将a,b,c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10(10为席位数),在数字下标以横线，表中a,b,c行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较。
4）你能提出其它的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
解答：先考虑n=10的分配方案。
p1=235 p2=333 p3=432 p1+p2+p3=1000
1)按比例分配：q1=p1*n/1000=2.35 q2=p2*n/1000=3.33 q3=p3*n/1000=4.32
所以分配结果为：n1=3 n2=3 n3=4
2）q值方法：9个席位按比例分配结果为：n1=2 n2=3 n3=4
对于第十个席位，其q值为：q1=2352/(2*3)=9204.17
q2=3332/(3*4)=9240.75
q3=4322/(4*5)=9331.2
q3值最大，所以第十个席位分给c，分配结果为：n1=2 n2=3 n3=5
3）d‘hondt方法： 记pi和ni是各宿舍的人数和席位代表a、b、c）。pi/ni是每个席位代表的人数。取ni=1，2...从得到的pi/ni中选较大者。
分配结果为：n1=2 n2=3 n3=5 毕。
3、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
解答：符号表示：
鲈鱼的密度——ρ
鲈鱼的身长——l；
鲈鱼的体重——m；
鲈鱼实际重量——m0；
鲈鱼的体积——v；
鲈鱼的胸围——t；
鲈鱼胸围处的半径——r；
鲈鱼胸围处的横截面面积——s；
假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鲈鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
由m=ρ*a*l3其中a为比例系数。令a=ρ*a。利用最小二乘法：
a*36.8*36.8*36.8=765
a*31.8*31.8*31.8=482
a*43.8*43.8*43.8=1162
a*36.8*36.8*36.8=737
a*32.1*32.1*32.1=482
a*45.1*45.1*45.1=1389
a*35.9*35.9*35.9=652
a*32.1*32.1*32.1=454
线性拟合数据，求得a=0.0146.
所以m=0.0146*l3
毕。4、风车的功率p与风速v、叶面的顶风面积s及空气的密度ρ有关，试求它们之间的关系。
解：对于风车获得的功率p与v，s，ρ的关系我们假设：
1.忽略其它因素对功率的影响。
2.将其视为理想化模型。
在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关：
风车获得的功率p，风速v，迎风面积s，空气密度ρ。
它们的量纲分别是：
p]=ml2t-3 ; v]=lt-1 ;[s]=l2 ;[ml-3
设π=pα1vα2sα3ρα4，有：
π]=ml2t-3)α1(lt-1)α2(l2)α3(ml-3)α4+
=mα1+α4l2α1+α2+2α3-3α4t-3α1-α2
由[π]1得到线性方程组：
这个方程组的秩为3.
因此方程组的解空间是4维。
由（α1）=（1）
得出方程组基本解。
e1=（1，-3，-1，-1）
所以，与这四个参数有关的量纲乘积：
1=pv-3s-1ρ-1，四个物理量的关系为f（π1）=0.即：
f(pv-3s-1ρ-1)=0.
根据隐函数运算法则，得：
p=λsρv3.
为无单位的常比例系数。毕。
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