纠错练习1
1.已知数列中，其前n项和为满足．
1）试求数列的通项公式．
2）令是数列的前n项和，证明：．
3）证明：对任意的，均存在，使得（2）中的成立．
解：（1）由得，即。
又， 故数列的通项公式为4分）
………8分）
3）证明：由（2）可知。
若，则得，化简得。
当，即………10分）
当，即。取即可，综上可知，对任意的均存在使得时（2）中的成立（12分）
2.已知上是减函数，且。
1）求的值，并求出和的取值范围。
2）求证。3）求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式。解：（1）
3.已知函数， ,设．
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
ⅲ）是否存在实数m,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（i）， 由，∴在上单调递增。
由，∴在上单调递减。
的单调递减区间为，单调递增区间为。
ii），恒成立。
当时，取得最大值。，∴
iii）若的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。
令，则。当x变化时，、的变化情况如下表：
由**知：，
画出草图和验证可知，当时，与恰有四个不同的交点。
当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。
造船厂年造船量20艘，造船艘产值函数为（单位：万元），成本函数（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为。
（1）求利润函数及边际利润函数（利润=产值—成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大。
（3）边际利润函数的单调递减区间。解：（1）
,有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）
3），（11分）
所以，当时，单调递减，所以单调区间是，且。
5.设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）试确定的值，使得数列为等差数列；
ⅲ）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列。 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
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