第一章计数原理。
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
过程与方法：培养学生的归纳概括能力；
情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)
教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教具：多**、实物投影仪
教学过程：引入课题。
先看下面的问题：
①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识。 排列组合是一种重要的数学计数方法。 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法。
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理。 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理。
1 分类加法计数原理。
1）提出问题。
问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。如果一天中火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
**：你能说说以上两个问题的特征吗？
2）发现新知。
分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法。 那么完成这件事共有。
种不同的方法。
3）知识应用。
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，a,b两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
a大学b大学。
生物学数学。
化学会计学。
医学信息技术学。
物理学法学。
工程学。如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分析：由于这名同学在 a , b 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 a , b 两所大学中的一所．在 a 大学中有 5 种专业选择方法，在 b 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有
5+4=9（种）.
变式：若还有c大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学。那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
**：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有。
种不同的方法。
理解分类加法计数原理：
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事。
2 分步乘法计数原理。
1）提出问题。
问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
用列举法可以列出所有可能的号码：
我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．
**：你能说说这个问题的特征吗？
2）发现新知。
分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法。 那么完成这件事共有。
种不同的方法。
3）知识应用。
例2.设某班有男生30名，女生24名。 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．
解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；
第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．
根据分步乘法计数原理，共有。
种不同的选法．
**：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法。那么完成这件事共有。
种不同的方法。
理解分步乘法计数原理：
分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事。
3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点。
相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。
不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。
3 综合应用。
例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书。
从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
从书架的第层各取1本书，有多少种不同的取法？
从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
分析】要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理。
要完成的事是“从书架的第层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理。
要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这。
件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理。
解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是。
( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是。
例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
n=3×2=6 .
6 种挂法可以表示如下：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
练习。1．填空：
( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;
2 ）从 a 村去 b 村的道路有 3 条，从 b 村去 c 村的道路有 2 条，从 a 村经 b 的路线有＿条．
2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． (1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 c 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3．在例1中，如果数学也是 a 大学的强项专业，则 a 大学共有 6 个专业可以选择， b 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有
6 + 4 = 10 （种） .
这种算法有什么问题？
例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 a～g 或 u～z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有。
种选法．再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有。
个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名．
高二数学选修23训练卷
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