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课时提升作业(十四)
一、选择题。
1.设a∈r，若函数y＝ex＋ax，x∈r有大于零的极值点，则( )
a)a＜-1b)a＞-1
c)ad)a＜-
2.(2013·宁波模拟)函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是( )
a)(-0)
b)(0,+∞
c)(-3)和(1,+∞
d)(-3,1)
3.函数y = x·e-x在x∈[2,4]上的最小值为( )
a)0 (bcd)
4.(2013·抚顺模拟)已知f(x),g(x)都是定义在r上的函数，且满足以下条件：
f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);
g(x)≠0;
f(x)·g'(x)>f'(x)·g(x).
若，则a等于( )
ab)2 (cd)2或。
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
6.(2013·惠州模拟)函数y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且函数y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)＝f′(x0)·(x－x0)＋f(x0)，f(x)＝f(x)－g(x)，如果函数y＝f(x)在区间［a，b］上的图象如图所示，且a(a)f′(x0)＝0，x＝x0是f(x)的极大值点。
b)f′(x0)＝0，x＝x0是f(x)的极小值点。
c)f′(x0)≠0，x＝x0不是f(x)的极值点。
d)f′(x0)≠0，x＝x0是f(x)的极值点。
二、填空题。
7．函数f(x)＝的单调递增区间是。
8.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为 __
9．若函数y=-x3+ax有三个单调区间，则a的取值范围是 __
三、解答题。
10.(2013·厦门模拟)已知函数f(x)= x+b,其中a,b∈r.
1)若曲线y=f(x)在点p(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式。
2)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性。
11.设f(x)=，其中a为正实数。
1)当a=时，求f(x)的极值点。
2)若f(x)为［］上的单调函数，求a的取值范围。
12.(能力挑战题)已知函数f(x)=xln x.
1)求函数f(x)的极值点。
2)若直线l过点(0，-1)，并且与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程。
3)设函数g(x)=f(x)-a(x-1)，其中a∈r，求函数g(x)在［1,e］上的最小值(其中e为自然对数的底数).
答案解析。1.【解析】选a.由y′＝(ex＋ax)′＝ex＋a＝0，得ex＝－a，即x＝ln(－a)＞0－a＞1a＜－1.
2.【解析】选'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-33.【解析】选'=,当x∈[2,4]时，y'<0,即函数y=x·e-x在[2,4]上单调递减，故当x=4时，函数有最小值为。
4.【解析】选a.由①②得=ax,又'由③知'0,故y=ax是减函数，因此05.
【解析】选d.对于a来说，抛物线为函数f(x)，直线为f′(x)；对于b来说，从左到右上升的曲线为函数f(x)，从左到右下降的曲线为f′(x)；对于c来说，下面的曲线为函数f(x)，上面的曲线为f′(x)．只有d不符合题设条件．
方法技巧】函数的导数与增减速度图象的关系。
1)导数与增长速度。
一个函数的增长速度快，就是说，在自变量的变化相同时，函数值的增长大，即平均变化率大，导数也就大；②一个函数减小的速度快，那么在自变量的变化相同时，函数值的减小大，即平均变化率大，导数的绝对值也就大．
2)导数与图象。
一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就较“平缓”.
6.【思路点拨】y＝g(x)是函数y＝f(x) 在点p(x0，f(x0))处的切线，故g′(x)＝f′(x0)，据此判断f′(x0)是否为0，再进一步判断在x＝x0两侧f′(x)的符号。
解析】选。f′(x0)＝f′(x0)－f′(x0)＝0，又当xx0时，函数f(x)为增函数．
7.【解析】f′(x)＝>0，即cos x>－，结合三角函数图象知，2kπ－答案：(2kπ－，2kπ＋)k∈z)
8.【解析】x=2是f(x)的极大值点，f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,f'(x)=3x2-4cx+c2,f'(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时，不能取极大值，c=6.
答案：6误区警示】本题易出现由f'(2)=0求出c后，不验证是否能够取到极大值这一条件，导致产生增根。
9.【思路点拨】函数有三个单调区间，等价于相应函数有两个极值点。
解析】y′=-x2+a,y=-x3+ax有三个单调区间，则方程-x2+a=0应有两个不等实根，故a>0.
答案：a>0
10.【解析】(1)f'(x)=ax2-(a+1)x+1.
由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.
由切点p(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.
2)f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).
当01,函数f(x)在区间(-∞1)及(,+上为增函数，在区间(1, )上为减函数；
当a=1时， =1,函数f(x)在区间(-∞上为增函数；
当a>1时， <1,函数f(x)在区间(-∞及(1,+∞上为增函数，在区间(,1)上为减函数。
11.【解析】∵f′(x)=,1)当a=时，若f′(x)=0，则4x2-8x+3=0x1=,x2=,x1=是极大值点，x2=是极小值点。
2)记g(x)=ax2-2ax+1,则。
g(x)=a(x-1)2+1-a,f(x)为［,］上的单调函数，则f′(x)在［,］上不变号，＞0，∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈［,恒成立，又g(x)的对称轴为x=1，故g(x)的最小值为g(1)，最大值为g().
由g(1)≥0或g()≤00＜a≤1或a≥，a的取值范围是0＜a≤1或a≥.
12.【思路点拨】(1)先判断f(x)的增减性，再求极值点。
2)设出切点，表示出切线方程，利用直线过点(0，-1)，求出切点即可得出切线方程。
3)先求出极值点，再根据该点是否在［1,e］上分类讨论。
解析】(1)f′(x)=ln x+1,x＞0. 而f′(x)＞0，即ln x+1＞0，得x＞.
f′(x)＜0，即ln x+1＜0，得0＜x＜,所以f(x)在(0,)上单调递减，在(,+上单调递增。
所以x=是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在。
2)设切点坐标为(x0,y0)，则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).
又切线l过点(0,-1)，所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).
解得x0=1，y0=0.
所以直线l的方程为y=x-1.
3)g(x)=xlnx-a(x-1)，则g′(x) =lnx+1-a.
g′(x)＜0，即lnx+1-a＜0，得0＜x＜ea-1,g′(x)＞0，得x＞ea-1,所以g(x)在(0,ea-1)上单调递减，在(ea-1,+∞上单调递增。
当ea-1≤1即a≤1时，g(x)在［1,e］上单调递增，所以g(x)在［1,e］上的最小值为g(1)=0.
当1＜ea-1＜e，即1＜a＜2时，g(x)在［1,ea-1)上单调递减，在(ea-1,e］上单调递增。g(x)在［1,e］上的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.
当e≤ea-1,即a≥2时，g(x)在［1,e］上单调递减，所以g(x)在［1,e］上的最小值为g(e)=e+a-ae.
综上，x∈［1,e］时，当a≤1时，g(x)的最小值为0；
当1＜a＜2时，g(x)的最小值为a-ea-1；
当a≥2时，g(x)的最小值为a+e-ae.
变式备选】设f(x)=-x3+x2+2ax.
1)若f(x)在(,+上存在单调递增区间，求a的取值范围。
2)当0【解析】(1)f(x)=-x3+x2+2ax,f'(x)=-x2+x+2a,当x∈[,时，f'(x)的最大值为f'()2a.
函数f(x)在(,+上存在单调递增区间，即导函数在(,+上存在函数值大于零成立，∴+2a>0a>-.
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